作业帮如何证明三角形第三边的中线一定过重心这是图 拜托快点 急急急急急急！
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 03:09:44
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如何证明三角形第三边的中线一定过重心
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E、D分别是△ABC的AC、BC边的中点,连接BE,AD,交于OD,连接CO较AB于F点,求证：AF=BF,O为重心.
连接EF,交CO与G点,
根据题意可得：AE=EC,BD=DC,
EF为△ABC中位线,根据中位线定理得：ED//AB,ED＝AB×(1/2)
△CDE与△ABC是相似三角形
△CEG与△ACF是相似三角形
△CDG与△BCF是相似三角形
∵ ED//AB,△ADE与△BDE的高相等,又∵△ADE与△BDE共底DE
∴ S△ADE=S△BDE,则：S△ADE-S△DEO=S△BDE-S△DEO
即：S△AEO=S△BDO
∵ BD=DC,△BDO与△CDO的高相等
∴ S△BDO=S△CDO
∵ AE=EC,△AEO与△CEO的高相等
∴ S△AEO=S△CEO
由上可知：S△AEO=S△BDO=S△CDO=S△CEO
∵ △CDO与△CEO共底CO, ∴ △CDO、△CEO分别到CO边的高相等；
又∵ △CDG与△CEG 共底CG,
∴ S△CDG=S△CEG
又∵ △CDG与△CEG 共底ED上的高相等,
∴ EG=DG （S△CDG=S△CEG ,根据面积公式可推算出）
∵ ED//AB,AE=EC ∴ EG是△ACF的中位线,
EG=AF×(1/2)
【※ 此步骤结论,也可以用相似三角形性质,两个三角形为相似三角形,那么,这两个三角形的三边之比相等,也可证明：CE：CA=EG：AF=1：2】
∵ ED//AB,BD=DC ∴ DG是△BCF的中位线,
DG=BF×(1/2)
由上已经求得：EG=DG , EG=AF×(1/2), DG=BF×(1/2)
AF×(1/2)=BF×(1/2)
∴ AF=BF
那么,CF是△ABC的AB边对应的中线,O为重心.