试求关于x,y的方程 x2＋y2＝208（x－y）的所有正整数解

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 22:49:10

试求关于x,y的方程 x2＋y2＝208（x－y）的所有正整数解
试求关于x,y的方程 x2＋y2＝208（x－y）的所有正整数解

试求关于x,y的方程 x2＋y2＝208（x－y）的所有正整数解
是x的平方么?等式右边是偶数,所以左边也是偶数,
所以x^2和y^2同时为奇数或同时为偶数,
假设x和y都是奇数,设为x=2a+1,y=2b+1,
则上式成为(2a+1)^2+(2b+1)^2=208[(2a+1)-(2b+1)],
展开后得4(a^2+a+b^2+b)+2=416(a-b),
右边能被4整除而左边不能（余数是2）,得到矛盾.
所以x,y必然都是偶数.
x和y都是奇数,设为x=2a,y=2b,
所以a^2+b^2=104(a-b)
同上推导知道a,b为偶数,重复此过程,最终可得到x=16m,y=16n,
且满足方程m^2+n^2=13(m-n).
移项知n^2+13n=13m-m^2,即n(n+13)=m(13-m).
左边>0,所以右边>0,知a

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