作业帮n阶矩阵A=(aij)n×n.其中aij=1 i.j=1 2…n.证明A可对角
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 07:25:53
n阶矩阵A=(aij)n×n.其中aij=1 i.j=1 2…n.证明A可对角
n阶矩阵A=(aij)n×n.其中aij=1 i.j=1 2…n.证明A可对角
n阶矩阵A=(aij)n×n.其中aij=1 i.j=1 2…n.证明A可对角
n阶矩阵A=(aij)n×n.其中aij=1 i.j=1 2…n.
说明A的元素全为1,它显然是对称的,而对称矩阵必定可以对角化（一般教材中均有此结论）
但是我猜提问者还会不满足,那么就展开多说几句：
如果能够证明A有n个线性无关的特征向量w1,w2,.wn（克赛敲不出,凑合吧）,即可证明A可对角
因为假设这n个特征向量对应的特征值分别为t1,t2,.,tn（兰姆达敲不出,别苛责；还要注意ti中可能有相同的,本题中t1=n,t2=t3=tn=0,为什么,请往下看）,则有Awi=ti×wi,i=1,2,.,n
合并起来,就有
A(w1,w2,.,wn)
=（Aw1,Aw2,.,Awn）
=(t1w1,t2w2,.,tnwn)
=（w1,w2,.,wn）×对角阵T
注意
首尾就是A(w1,w2,.,wn)=（w1,w2,.,wn）×对角阵T （*）
其中对角阵T对角线上元素依次为t1,t2,.,tn
因为w1,w2,.,wn线性无关,它们组成的矩阵(w1,w2,.,wn)可逆,从而（*）式子两边同时左乘矩阵(w1,w2,.,wn)的逆矩阵,就得到
(w1,w2,.,wn)的逆×A×（w1,w2,.,wn)=对角阵T
这就说明A可以对角化
好了,闲话休提,下面就尝试求出A的特征值,为什么t1=n,t2=t3=tn=0
还有为什么A有n个线性无关的特征向量w1,w2,.wn,均在下面给出证明
求特征值的方法一：用E代表单位矩阵
写出特征方程|tE-A|=0,求出特征值
|t-1 -1 -1 .-1 -1 |
|-1 t-1 -1 .-1 -1 |
| ...|=0,各列都加到首列上,得到
|-1 -1 -1 .t-1 -1 |
|-1 -1 -1 .-1 t-1 |
|t-n -1 -1 .-1 -1 |
|t-n t-1 -1 .-1 -1 |
| ...|=0,提取首列公因子t-n,得到
|t-n -1 -1 .t-1 -1 |
|t-n -1 -1 .-1 t-1 |
|1 -1 -1 .-1 -1 |
|1 t-1 -1 .-1 -1 |
| ...|×（t-n）=0,
|1 -1 -1 .t-1 -1 |
|1 -1 -1 .-1 t-1 |
用首行的-1倍分别加到其下各行上,得到
|1 -1 -1 .-1 -1 |
|0 t 0 .0 0 |
| ...|×（t-n）=0,
|0 0 0 .t 0 |
|0 0 0 .0 t |
得到上三角行列式,整理得[t^(n-1)]×(t-n)=0
解之得A的特征值为n（1重）,0（n-1重）
求特征值的方法二：
因为A的特殊构造,可以取巧求其特征值：A中元素全为1,
它相似于对角阵,且该对角阵上元素即为A的n个特征值,
A和该对角阵的秩相等,显然A的秩为1（直接用秩的定义：非零子式最高阶数或者通过初等行变换均可）,从而对角阵的秩也为1,说明对角阵的对角元素为n-1个零和一个非零数,该数可以通过两个相似矩阵的迹（对角线元素之和）相等
得到,A的迹为n,从而对角阵上非零数是n
因此,A的n个特征值为n（1重）,0（n-1重）
最后再求A的n个特征向量,并说明它们线性无关：
当t=n时,求对应n的特征向量
就是求解（nE-A）x=0
（n-1 -1 -1 .-1 -1 ） （x1 ）
（-1 n-1 -1 .-1 -1 ） （x2 ）
（ ...）× （x3 ）=0向量
（-1 -1 -1 .n-1 -1 ） （.）
（-1 -1 -1 .-1 n-1 ） （.）
（.）
（xn-1 ）
（xn ）
求解该方程组,也是可以利用行变换,得到一个非零解向量
我敲字太累了,以下过程（包括求出t=0所对应的特征向量,应该可以得到n-1个无关的）省略.
以上两组解向量（1个和n-1个）对应不同的特征值合起来也是无关的,因此.