作业帮高等数学-证明题- 中值定理 f(a)g(b)-f(b)g(a)=(b-a)(f(a)g'(ξ)-f'(ξ)g(a))f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,证明存在ξ∈(a,b) 使得 f(a)g(b)-f(b)g(a)=(b-a)(f(a)g'(ξ)-f'(ξ)g(a)).
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 06:25:37
高等数学-证明题- 中值定理 f(a)g(b)-f(b)g(a)=(b-a)(f(a)g'(ξ)-f'(ξ)g(a))f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,证明存在ξ∈(a,b) 使得 f(a)g(b)-f(b)g(a)=(b-a)(f(a)g'(ξ)-f'(ξ)g(a)).
高等数学-证明题- 中值定理 f(a)g(b)-f(b)g(a)=(b-a)(f(a)g'(ξ)-f'(ξ)g(a))
f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,证明存在ξ∈(a,b) 使得 f(a)g(b)-f(b)g(a)=(b-a)(f(a)g'(ξ)-f'(ξ)g(a)).
高等数学-证明题- 中值定理 f(a)g(b)-f(b)g(a)=(b-a)(f(a)g'(ξ)-f'(ξ)g(a))f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,证明存在ξ∈(a,b) 使得 f(a)g(b)-f(b)g(a)=(b-a)(f(a)g'(ξ)-f'(ξ)g(a)).
令F(x)=f(a)g(x)-f(x)g(a)
则F(b)=f(a)g(b)-f(b)g(a)
F(a)=f(a)g(a)-f(a)g(a)=0
∵f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导
∴F(x)=f(a)g(x)-f(x)g(a)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导
∴存在ξ∈(a,b) 使得[F(b)-F(a)]/(b-a)=F'(ξ)
整理后即得所证
令F(x)=f(a)g(x)-f(x)g(a)
则F(b)=f(a)g(b)-f(b)g(a)
F(a)=f(a)g(a)-f(a)g(a)=0
∵f(x),g(x)在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导
∴F(x)=f(a)g(x)-f(x)g(a)在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导
∴存在ξ∈(a,b) 使得[F(b)-F(a)]/(b-a)=F'(ξ)
整理后即得所证
令h(x)=f(a)g(x)-f(x)g(a),在（a,b）上使用拉格朗日中值定理即可
证明如下：
设H(x)=f(a)g(x)-f(x)g(a);
H(b)=f(a)g(b)-f(b)g(a);
H(a)=f(a)g(a)-f(a)g(a)=0;
由中值定理可得:
存在ξ在区间（a，b）内的一实数,使得
H(b)-H(a)/b-a=f(a)g(b)-f(b)g(a)/b-a=H‘(ξ)成立;
两遍同乘以因子b-a;
f...
全部展开
证明如下：
设H(x)=f(a)g(x)-f(x)g(a);
H(b)=f(a)g(b)-f(b)g(a);
H(a)=f(a)g(a)-f(a)g(a)=0;
由中值定理可得:
存在ξ在区间（a，b）内的一实数,使得
H(b)-H(a)/b-a=f(a)g(b)-f(b)g(a)/b-a=H‘(ξ)成立;
两遍同乘以因子b-a;
f(a)g(b)-f(b)g(a)=(b-a)(f(a)g'(ξ)-f'(ξ)g(a)
得证
主要就是函数H(x)的确定，微积分中值定理、柯西定理等，是考研的一个难点，陈文灯的高数一本书，对这些内容讲解很好，可以参阅
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