过点A(2,4)向圆(X-1)^+(Y+3)^=1引切线,求切线方程

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/13 16:01:04

过点A(2,4)向圆(X-1)^+(Y+3)^=1引切线,求切线方程
过点A(2,4)向圆(X-1)^+(Y+3)^=1引切线,求切线方程

过点A(2,4)向圆(X-1)^+(Y+3)^=1引切线,求切线方程
因为切线过A点,所以设切线方程是 y-4=k(x-2)
又圆心的坐标是(1,-3)
相切的性质是圆心到直线的距离等于半径1
所以有 [k-(-3)-2k+4]^=k^+1
所以 k=24/7
切线方程为 24x-7y=20

设切点B坐标为(a,b),由题意可得,圆心O坐标为(1,-3),半径为1
根据半径为1得出:(a-1)的平方+(b+3)的平方=1 ——方程1
再根据线段AB(a-2,b-4)与线段OB(1-a,-3-b)为相互垂直得出:它们点乘为0,即(a-2)×(1-a)+(b-4)×(-3-b)=0 ——方程2
根据方程1和方程2得出a,b值
切线方程根据A,B两点得出

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设切点B坐标为(a,b),由题意可得,圆心O坐标为(1,-3),半径为1
根据半径为1得出:(a-1)的平方+(b+3)的平方=1 ——方程1
再根据线段AB(a-2,b-4)与线段OB(1-a,-3-b)为相互垂直得出:它们点乘为0,即(a-2)×(1-a)+(b-4)×(-3-b)=0 ——方程2
根据方程1和方程2得出a,b值
切线方程根据A,B两点得出
够详细了吧?呵呵~~思路明白了就好,算就自己算咯。

收起

因为(2-1)2+(4+3)2=50>1,所以点P(2,4)在圆(x-1)2+(y+3)2=1的外部.
4=k(x-2).①
把①代入圆的方程得(x-1)2+[k(x-2)+4+3]2=1,即
(1+k2)x2-(4k2-14k+2)x+4k2-28k+49=0,
其判别式Δ=56k-192.
因为圆心(1,-3)到该直线的距离d=1,所以x=2是所求的...

全部展开

因为(2-1)2+(4+3)2=50>1,所以点P(2,4)在圆(x-1)2+(y+3)2=1的外部.
4=k(x-2).①
把①代入圆的方程得(x-1)2+[k(x-2)+4+3]2=1,即
(1+k2)x2-(4k2-14k+2)x+4k2-28k+49=0,
其判别式Δ=56k-192.
因为圆心(1,-3)到该直线的距离d=1,所以x=2是所求的另一条切线方程.
综合(1)、(2),所求的两条切线方程是x=2和24x-7y-20=0.
评述 在解决这类问题的时候,一定要注意两点,第一是先判断点P(2,4)与圆的位置关系,点P(2,4)必须在圆上或圆外才有解,第二要考虑斜率k不存在的情况,以免漏解.这样考虑问题较细致,但计算量相应较大,如能利用平面几何中圆的切线定义,根据圆心到切线的距离等于圆的半径这一点,则计算量相应减少,解法简化.
由圆心为(1,-3),半径R=1,将切线方程改写成直线的一般形式在的特殊情况x=2,这样就可得两条切线方程.

收起

设切线方程是 y-4=k(x-2)
因为圆的圆心的坐标是(1,-3)
由圆心到直线的距离等于半径1
得 [k-(-3)-2k+4]^=k^+1
所以 k=24/7
所以 所求切线方程为24x-7y=20