作业帮若曲线y^2=|x|+2与直线y=kx+b设有公共点,则k,b分别应满足的条件时
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 07:18:15
若曲线y^2=|x|+2与直线y=kx+b设有公共点,则k,b分别应满足的条件时
若曲线y^2=|x|+2与直线y=kx+b设有公共点,则k,b分别应满足的条件时
若曲线y^2=|x|+2与直线y=kx+b设有公共点,则k,b分别应满足的条件时
题目中的“设”字应该是“没”字吧.
楼主的题目经常出现在零回答问题中.既然无人答,我来答答看.
这道题目初看上去挺难的.但其实不难,难在如何给你讲懂.
首先对曲线函数做处理,把绝对值符号去掉
y^2=x+2 .x ≥0
y^2=2-x .x ≤0
其函数曲线是关于y轴和x轴同时对称的.请楼主自己画一画,可以看到是由两条曲线构成.
首先 讨论 x ≥0 时.要求 “没有公共点”,即要求直线始终处于两条曲线之间.即要求 (kx+b)^2≤x+2 在 x∈[0,+∞]区间上恒成立.
设函数y=(kx+b)^2-(x+2)
=k^2 x^2+(2kb-1)x+b^2-2
如果 k≠0,那么这个函数就是一个x∈[0,+∞]上的半抛物线.并且当x趋于正无穷大时,抛物线没有端点,也趋向于正无穷大.也就是说,只要x足够大时候,y=(kx+b)^2-(x+2)一定可以大于0.因此“(kx+b)^2≤x+2 在 x∈[0,+∞]区间上恒成立”是不可能的.即如果如果 k≠0,那么题目中的曲线与直线必然有交点.因此,“曲线y^2=|x|+2与直线y=kx+b没有公共点”必须在k=0条件下才有可能实现.
在k=0时,直线方程化为 y=b.
y^2=x+2 所以 y=±√(x+2)
为保证无公共点,需要有
√(x+2)>b>-√(x+2) .(x≥0)
容易看出 √2>b>-√2
根据曲线函数的对称性,同理可知 以上结论在 x≤0时也成立.
最后,当 k=0 且√2>b>-√2时,曲线y^2=|x|+2与直线y=kx+b没有公共点.
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另外,本题目也可以通过如下思路考虑：
y^2=|x|+2 曲线的“瞬时斜率”随着|x|的增大而减小,当|x|趋于+∞时,“瞬时斜率”趋于0.所以要保证无交点,直线的斜率必须为0.
这个思路比较快,但对高中阶段来说,恐怕理解不上去.