作业帮证明e^x在x→a的极限为e^a用定义证明当x→a时,e^x的极限是e^a
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 11:21:07
证明e^x在x→a的极限为e^a用定义证明当x→a时,e^x的极限是e^a
证明e^x在x→a的极限为e^a
用定义证明当x→a时,e^x的极限是e^a
证明e^x在x→a的极限为e^a用定义证明当x→a时,e^x的极限是e^a
证明：任给小正数ξ
要使│e^x-e^a│=e^a│e^(x-a)-1│<ξ,只要1-ξ/e^a
2）若0<ξ/e^a<1,则ln(1-ξ/e^a)<0,不等式①等价于ln(1-ξ/e^a)
取δ=ln(1+ξ/e^a),则有0<│x-a│<δ时总有│e^x-e^a│<ξ
综上,取δ=ln(1+ξ/e^a),对一切0<│x-a│<δ都有│e^x-e^a│<ξ
因此,当x→a时,e^x的极限是e^a
设t = x - a;
e^x - e^a = e^a*(e^(x - a) - 1) = e^a*(e^t - 1);
对于任意小的正数 r,
令 | e^x - e^a | < r 即 | e^a*(e^t - 1) | < r得
| (e^t - 1) | < r/ | e^a |,
1 - r/ | e^a | < e^t < 1 + r/...
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设t = x - a;
e^x - e^a = e^a*(e^(x - a) - 1) = e^a*(e^t - 1);
对于任意小的正数 r,
令 | e^x - e^a | < r 即 | e^a*(e^t - 1) | < r得
| (e^t - 1) | < r/ | e^a |,
1 - r/ | e^a | < e^t < 1 + r/ | e^a |,
Ln[1 - r/ | e^a |] < t < Ln[1 + r/ | e^a |],
即对于任意小的正数 r,
当Ln[1 - r/ | e^a |] < t < Ln[1 + r/ | e^a |] 时,
| e^x - e^a | < r,
所以e^x在x → a的极限为e^a
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