作业帮已知f（x）在负无穷大到正无穷大上满足关系式f'(x)=f(x),且f(0)=1,试证明f(x)=e^x
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 07:34:02
已知f（x）在负无穷大到正无穷大上满足关系式f'(x)=f(x),且f(0)=1,试证明f(x)=e^x
已知f（x）在负无穷大到正无穷大上满足关系式f'(x)=f(x),且f(0)=1,试证明f(x)=e^x
已知f（x）在负无穷大到正无穷大上满足关系式f'(x)=f(x),且f(0)=1,试证明f(x)=e^x
f'(x)=f(x) ,f'(x)/f(x)=1 [lnf(x)]'=1,lnf(x)=x+c f(x)=e^(x+c) f(0)=e^c=1 f(x)=e^x
这样行？
你好，很高兴为你解答这个问题
一阶微分方程f'(x)=f(x)的通解为f(X)=e^(x+C)，代入初始值条件f(0)=1 解得C=0，所以f(x)=e^x。为什么一阶微分方程f'(x)=f(x)的解为f(X)=e^x+C？这是高等数学的内容了，过程中用到微积分的一些知识 f'(x)=f(x)可以写成 df/dx=f（df/dx表示f对x的导数） f除到左边，dx乘到右边从而变形为 ...
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你好，很高兴为你解答这个问题
一阶微分方程f'(x)=f(x)的通解为f(X)=e^(x+C)，代入初始值条件f(0)=1 解得C=0，所以f(x)=e^x。
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首先由定义,e=lim h->0(1+h)^(1/h) (=2.71828..)
两边取ln,
1=lim h->0ln(1+h)/h
所以dln(x)/dx
=lim h->0 [ln(x+h)-ln(x)]/h
=lim h->0 [ln(1+ h/x)]/h
=lim (h/x)->0 {[ln(1+ (h/x))]/(h/x)}*(1/x)...
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首先由定义,e=lim h->0(1+h)^(1/h) (=2.71828..)
两边取ln,
1=lim h->0ln(1+h)/h
所以dln(x)/dx
=lim h->0 [ln(x+h)-ln(x)]/h
=lim h->0 [ln(1+ h/x)]/h
=lim (h/x)->0 {[ln(1+ (h/x))]/(h/x)}*(1/x)
=1/x
可知d(e^x)/dx中,代x=lny, d(e^(lny))/d(lny)=dy/d(lny)=(1/y)^-1=y, 即d(e^x)/dx=e^x
(e=2.71828..的定义就是这样来的,它微分刚好等於自己,要是你换了其他数,比e大一点或小一点,微分就不是它自己:例如2^x,微分是(2^x)*ln(2)而不会刚好是2^x)
因有(e^x)'=e^x,
f'(x)=f(x)两边乘上e^-x,整理可得:
[f(x)*e^-x]'=0
考虑g(x)=f(x)*e^-x,
g'(x)=0,g(0)=f(0)*e^0=1
微分即切线处处为零,可知g(x)是一条常数横线,且此常数由g(0)=1可知必为1.
g(x)=f(x)*e^-x=1 => f(x)=e^x
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