作业帮请教一道证明题如图图片文字：设b>a>e, 证明存在一个ξ∈(a,b)，使be^a-ae^b=(1-e^ξ)ξ(b-a)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/21 12:46:35
请教一道证明题如图图片文字：设b>a>e, 证明存在一个ξ∈(a,b)，使be^a-ae^b=(1-e^ξ)ξ(b-a)
请教一道证明题
如图
图片文字：设b>a>e, 证明存在一个ξ∈(a,b)，使be^a-ae^b=(1-e^ξ)ξ(b-a)
请教一道证明题如图图片文字：设b>a>e, 证明存在一个ξ∈(a,b)，使be^a-ae^b=(1-e^ξ)ξ(b-a)
估计你抄错题了吧.等式两边同除以b－a,然后分子分母同除以ab,得左边为
[e^a/a-e^b/b]/[1/a-1/b],明显用cauchy中值定理,F(x)=e^x/x,G(x)=1/x,但这样的话右边应该是F’(c)/G'(c)=e^c(1-c),而不是c(1-e^c)
考虑 f(x) = e^x /x, g(x) = 1/x, f '(x) = (x-1)e^x / (x²), g'(x) = -1/(x²)
在 [a, b] 上应用Cauchy中值定理，得：存在 ξ ∈(a,b), 使得
[ f(b) - f(a) ] / [ g(b) - g(a) ] = f '(ξ) / g'(ξ)
整理得：【e^b ...
全部展开
考虑 f(x) = e^x /x, g(x) = 1/x, f '(x) = (x-1)e^x / (x²), g'(x) = -1/(x²)
在 [a, b] 上应用Cauchy中值定理，得：存在 ξ ∈(a,b), 使得
[ f(b) - f(a) ] / [ g(b) - g(a) ] = f '(ξ) / g'(ξ)
整理得：【e^b /b - e^a /a】/【1/b - 1/a】 = (1-ξ) e^ξ
......
与你给出的题目 (要证的等式) 有点区别，请检查。
收起