用换元法计算定积分∫(x^3/2乘以dx)/(1+x) ∫上面为1,下面为0

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/30 03:19:36

用换元法计算定积分∫(x^3/2乘以dx)/(1+x) ∫上面为1,下面为0
用换元法计算定积分
∫(x^3/2乘以dx)/(1+x) ∫上面为1,下面为0

用换元法计算定积分∫(x^3/2乘以dx)/(1+x) ∫上面为1,下面为0
令ψ²=x,2ψdψ=dx
当x=0,ψ=0 // 当x=1,ψ=1
∫(0到1)x^(3/2) / (1+x) dx
= 2∫(0到1) ψ⁴/(1+ψ²) dψ
= 2∫(0到1) ψ²[(ψ²+1)-1]/(1+ψ²) dψ
= 2∫(0到1) ψ² dψ - 2∫(0到1) [(ψ²+1)-1]/(1+ψ²) dψ
= (2/3)ψ³[0到1] - 2∫(0到1) dψ + 2∫(0到1) 1/(1+ψ²) dψ
= (2/3) - 2ψ[0到1] + 2arctanψ[0到1]
= (2/3) - 2 + 2[arctan1 - arctan0]
= π/2 - 4/3