作业帮逻辑&函数的数学题已知：f(x)=x^3-3x^2+6x-2x1,x2属于实数求证：f(x1)小于f(x2)的充分必要条件是x1小于x2
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 04:52:26
逻辑&函数的数学题已知：f(x)=x^3-3x^2+6x-2x1,x2属于实数求证：f(x1)小于f(x2)的充分必要条件是x1小于x2
逻辑&函数的数学题
已知：f(x)=x^3-3x^2+6x-2
x1,x2属于实数
求证：f(x1)小于f(x2)的充分必要条件是x1小于x2
逻辑&函数的数学题已知：f(x)=x^3-3x^2+6x-2x1,x2属于实数求证：f(x1)小于f(x2)的充分必要条件是x1小于x2
充分条件：
已知x1
=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2)-3(x1-x2)(x1+x2)+6(x1-x2)
=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2-3+6)
=(x1-x2)[(x1+1/2x2)^2+3/4x2^2+3]
x1-x2<0,[(x1+1/2x2)^2+3/4x2^2+3]>0
f(x1)-f(x2)<0
f(x1)
已知f(x1)
[(x1+1/2x2)^2+3/4x2^2+3]>0
x1-x2<0
x1
只要证明f(x)严格单调增加即可
事实上f'(x)=6x2-6x+6，是个首项大于零而判别式小于零的二次函数，因而在R上恒大于零。得证
证明：
f(x1)-f(x2)
=(x1^3-3x1^2+6x1-2)-(x2^3-3x2^2+6x2-2)
=(x1^3-x2^3)-3(x1^2-x2^2)+6(x1-x2)
=(x1-x2)[(x1^2+x1x2+x2^2)-3(x1+x2)+6]
=(x1-x2)[(x1+x2)^2/2+3(x1^2+x2^2)/4-3(x1+x2)+6]
...
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证明：
f(x1)-f(x2)
=(x1^3-3x1^2+6x1-2)-(x2^3-3x2^2+6x2-2)
=(x1^3-x2^3)-3(x1^2-x2^2)+6(x1-x2)
=(x1-x2)[(x1^2+x1x2+x2^2)-3(x1+x2)+6]
=(x1-x2)[(x1+x2)^2/2+3(x1^2+x2^2)/4-3(x1+x2)+6]
=(x1-x2)[(x1+x2)^2/2+3(x1-2)^2/4+3(x2-2)^2/4]
因为
[(x1+x2)^2/2+3(x1-2)^2/4+3(x2-2)^2/4]>0
所以
f(x1)-f(x2)<0当且仅当x1-x2<0
所以f(x1)小于f(x2)的充分必要条件是x1小于x2
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