作业帮高数中求这个函数的原函数X^3*根号下1-X^2他的原函数是什么啊
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 18:38:07
高数中求这个函数的原函数X^3*根号下1-X^2他的原函数是什么啊
高数中求这个函数的原函数
X^3*根号下1-X^2
他的原函数是什么啊
高数中求这个函数的原函数X^3*根号下1-X^2他的原函数是什么啊
用换元法求不定积分
令x=sint,则cost=根号（1-x^2)
【（X^3)*根号(1-X^2）dx 这里用【表示不定积分符号
=【(sint)^3*cost*costdt
=-【（1-cost*cost）*cost*costd(cost)
=-【((cost)^2-(cost)^4)d(cost)
=-((cost)^3)/3+((cost)^5)/5+C(C为任意常数)
将cost带入化简即可
我个人认为：设u=1-x^2，则du=-2xdx，x^2=1-u。所以∫(x^3×根号下1-x^2)dx=-1/2∫[(1-u)×根号u]du=-1/2[∫(u^1/2)du-∫(u^3/2)du]=-1/2[(2/3)u^3/2-(2/5)u^5/2]+C=(u^5/2)×1/5-(u^3/2)×1/3+C=[(1-x^2)^(5/2)]×(1/5)-[(1-x^2)^(3/2)]×(1/3)+...
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我个人认为：设u=1-x^2，则du=-2xdx，x^2=1-u。所以∫(x^3×根号下1-x^2)dx=-1/2∫[(1-u)×根号u]du=-1/2[∫(u^1/2)du-∫(u^3/2)du]=-1/2[(2/3)u^3/2-(2/5)u^5/2]+C=(u^5/2)×1/5-(u^3/2)×1/3+C=[(1-x^2)^(5/2)]×(1/5)-[(1-x^2)^(3/2)]×(1/3)+C。哇噻，打得我好辛苦啊，希望楼主满意啊~~~
P.S.个人认为楼上的解法有问题。因为cost可正可负，不能完全由根号下[1-(sint)^2]得到。虽然结果一样~~~
收起
关于cos(t)可正可负完全没关系，只要令t属于(-90°,90°)即可
解答过程如图：