作业帮“正方形ABCD,M为对角线BD上的动点,当M移到什么位置时,AM+BM+CM的值最小”M为BD中点么除了用导数还有别的办法么（初中水平）Tanks!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 18:54:21
“正方形ABCD,M为对角线BD上的动点,当M移到什么位置时,AM+BM+CM的值最小”M为BD中点么除了用导数还有别的办法么（初中水平）Tanks!
“正方形ABCD,M为对角线BD上的动点,当M移到什么位置时,AM+BM+CM的值最小”M为BD中点么
除了用导数还有别的办法么（初中水平）Tanks!
“正方形ABCD,M为对角线BD上的动点,当M移到什么位置时,AM+BM+CM的值最小”M为BD中点么除了用导数还有别的办法么（初中水平）Tanks!
令正方形ABCD的对角线交点为E.不失一般性地设AB＝a,ME＝x.易知：BM＝√2a/2－x.
由勾股定理,有：AM＝√（AE^2＋ME^2）＝√［（√2a/2）^2＋x^2］.
由对称图形的性质,得：CM＝AM.
设y＝AM＋BM＋CM＝2√［（√2a/2）^2＋x^2］＋√2a/2－x
∴x＋y－√2a/2＝2√［（√2a）^2＋x^2］
两边平方,得：x^2＋y^2＋a^2/2＋2xy－√2ax－√2ay＝4［（√2a/2）^2＋x^2］
∴3x^2＋（√2a－2y）x＋3a^2/2＋√2ay－y^2＝0
将这个等式看成是关于x的一元二次方程,要确保x为实数,必需要它的判别式不小于0,
即：（√2a－2y）^2－4×3（3a^2/2＋√2ay－y^2）≥0
∴2a^2－4√2ay＋4y^2－18a^2－12√2ay＋12y^2≥0
∴y^2－√2ay－a^2≥0,∴（y－√2a/2)^2≥3a^2/2
∴y－√2a/2≥√6a/2,或y－√2a/2≤－√6a/2
∴y≥√2a/2＋√6a/2,或y≤√2a/2－√6a/2
y显然是大于0的,∴y≥√2a/2＋√6a/2,即y的最小值是√2a/2＋√6a/2.
当y取最小值时,就有：2√［（√2a/2）^2＋x^2］＋√2a/2－x＝√2a/2＋√6a/2
∴2√［（√2a/2）^2＋x^2］＝x＋√6a/2
两边平方,得：4［（√2a/2）^2＋x^2］＝x^2＋√6ax＋3a^2/2
∴3x^2－√6ax＋a^2/2＝0,∴6x^2－2√6ax＋a^2＝0,∴（√6x－a）^2＝0,∴√6x＝a
∴x＝√6a/6.
∴此时有：BM＝BE－ME＝√2a/2－x＝（3√2－√6）a/6.
即：当BM的距离为正方形边长的（3√2－√6）/6时,AM＋BM＋CM最小.
既然你找到我这里了，那就做一下，希望能够有帮助：
不用求导，观察一下就能做出来：
先设正方形边长是1
M在B点时，AM+BM+CM=2
M在BD中点时：AM+BM+CM=(3/2)√2 >2
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当M从B点向BD中点移动时，AM和CM会变小，而BM增大。
设∠BAM=α，所以∠AMD=α+45°
当M沿BD向D方向移动很小一...
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既然你找到我这里了，那就做一下，希望能够有帮助：
不用求导，观察一下就能做出来：
先设正方形边长是1
M在B点时，AM+BM+CM=2
M在BD中点时：AM+BM+CM=(3/2)√2 >2
------
当M从B点向BD中点移动时，AM和CM会变小，而BM增大。
设∠BAM=α，所以∠AMD=α+45°
当M沿BD向D方向移动很小一段距离x到M'点时，BM增大了x
过M'作AM的垂线交AM于N，在△NMM'中：MM'=x，所以NM=cos(α+45°) x
由于x很小，MM'／AM' ≈0 ，∠MAM' ≈0° ，所以 AM'≈AN
AM-AM'=NM 就是说AM减小了cos(α+45°)x
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由于AM=CM，当2cos(α+45°)=1 时，AM+CM减小长度的与BM增大长度相同
这时α=15° ，就是∠BAM=15° 时AM+BM+CM最小。
ctg15° =2+√3 由此可以算出这个最小值
收起
M不在BD的中点，
这题有点难度，你的数学水平怎样。
如只有一般不学也没关系，因讲清楚比较难，
如成绩还可以，我给你提示（初中）。