求证111...11(n-1个1)222...22(n个2)5是一个完全平方数快的有赏,必须完整过程

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/03 14:12:59

求证111...11(n-1个1)222...22(n个2)5是一个完全平方数快的有赏,必须完整过程
求证111...11(n-1个1)222...22(n个2)5是一个完全平方数
快的有赏,必须完整过程

求证111...11(n-1个1)222...22(n个2)5是一个完全平方数快的有赏,必须完整过程
只需验证 111...11(n-1个1)222...22(n个2)5=(33...35)^2 这里共有n-1个3
因为 (33...35)^2
=(33...30+5)^2 (n-1个3,用和的平方公式展开:(a+b)^2=a^2+b^2+2ab)
=(33...30)^2+10*33...30+25 (前面两项中都是n-1个3,且最末两位都是0)
=99...90*11...10+33...300+25
=99...9*11...100+33...300+25
(第一项中有n-1个9,n-1个1,利用99...9=10^(n-1)-1)
=(10^(n-1)-1)*11...100+33...300+25 (对第一项用分配律展开)
=10^(n-1)*11...100-11...100+33...300+25
(第一项即为在11...100末尾填n-1个0;第二项与第三项合并)
=11...100...0+22...200+25
(第一项中n-1个1,n+1个0;第二项中n-1个2,2个0,恰为n+1位数,直接接到第一项后面)
=11...122...25 (共有n-1个1,n个2,一个5)