作业帮已知n为正整数,满足24整除n+1,证（1） n有偶数个因数（2）n的所有因数之和能被24整除
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 00:24:07
已知n为正整数,满足24整除n+1,证（1） n有偶数个因数（2）n的所有因数之和能被24整除
已知n为正整数,满足24整除n+1,证
（1） n有偶数个因数
（2）n的所有因数之和能被24整除
已知n为正整数,满足24整除n+1,证（1） n有偶数个因数（2）n的所有因数之和能被24整除
可以证明n为完全平方数
用数学归纳法试试啊，我学好久了，差不多快忘了~
先进行一些知识的补充
设正整数n的质因数分解为
n=(p1）^(a1)*(p2)^(a2)*……*（pn)^(an) （甲）
其中p1，p2，等都是质数，且互不相等，a1，a2等都是正整数
则n的正因数个数为
（a1+1）*（a2+1）……*（an+1） （乙）
n的所有正因数之和为
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先进行一些知识的补充
设正整数n的质因数分解为
n=(p1）^(a1)*(p2)^(a2)*……*（pn)^(an) （甲）
其中p1，p2，等都是质数，且互不相等，a1，a2等都是正整数
则n的正因数个数为
（a1+1）*（a2+1）……*（an+1） （乙）
n的所有正因数之和为
[(p1）^(a1)+1]*[(p2）^(a2)+1]*……*[（pn)^(an)+1] （丙）
现在回答你的问题
（1) 因n是奇数，且除以8余数为7，故不是完全平方数（一个数的平方除以8只能余1，4或7），从而有偶数个因数（只有完全平方数有奇数个因数，因为只有完全平方数才能使得（乙）式中所有an都为偶数）
（2）只需证明( 丙）式既能被3整除，又能被8整除
考虑（甲），因为它除以3余2（因除以24余7），故必有一项（pi)^(ai)除以3余2（因为若干个除以3余1的数相乘仍为除以3余1），则3|[（pi)^(ai)+1]，则（丙）能够被3整除
再证明（丙）能够被8整除， 若（甲）至少3项，则（丙）也至少3项，而每项都是偶数（因甲的每项都是奇数），则结论成立
若（甲）只有一项，则（丙）=（甲）+1，当然也成立
若（甲）恰好有两项，n=(p1）^(a1)*(p2)^(a2)，则要让n除以8余7，只能是这两项有除以8的余数分别为1和7 或3和5 ，这一点只要枚举即可，任何一种情况均导致（丙）能被8整除，证毕
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好像是题目写错了。？？？
已知23为正整数，满足24整除n+1
已知47为正整数，满足24整除n+1