作业帮已知函数f(x)=alnx-1/x,a为常数.（3）当x大于等于1时,f(x)小于等于2x-3恒成立,求实数a的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 18:52:17
已知函数f(x)=alnx-1/x,a为常数.（3）当x大于等于1时,f(x)小于等于2x-3恒成立,求实数a的取值范围
已知函数f(x)=alnx-1/x,a为常数.（3）当x大于等于1时,f(x)小于等于2x-3恒成立,求实数a的取值范围
已知函数f(x)=alnx-1/x,a为常数.（3）当x大于等于1时,f(x)小于等于2x-3恒成立,求实数a的取值范围
x≥1时,f(x)≤2x-3恒成立,即
g(x)=alnx-1/x-2x+3≤0 （x≥1)
即g(x)max≤0
g'(x)=a/x-2+1/x^2=(-2x^2+ax+1)/x^2
h(x)=-2x^2+ax+1开口朝下,h(0)=1>0
h(1)=-2+a+1=a-1
当h(1)≤0时,即a≤1时,
h(x)≤0,g'(x)≤0,g(x)是减函数
g(x)max=g(1)=0,符合题意
当h(1)>0即a>1时,
令g'(x)=0,即 h(x)=0,
-2x^2+ax+1=0==> x0=[a+√(a²+8)]/4 (舍负）
∴1<x<x0,g'(x)>0,x>x0,g'(x)<0
∴x=x0,g(x)取得最大值,但g(1)=0
g(x0)>g(1）,不和题意
综上所述,符合题意的a的取值范围
是a≤1
用分析法解答，当alnx-1/x小于等于2x-3时，即alnx小于等于1/x+2x-3，可以证明当x大于等于1时，1/x+2x-3是一个增函数，即1/x+2x-3大于等于0，若符合题意，只需 alnx 在x大于等于1范围内恒小于等于0即可，即 alnx小于等于0，又因为当x大于等于1时，lnx恒大于0，所以为满足条件，实数a须小于等于0，故实数a的取值范围为a小于等于0....
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用分析法解答，当alnx-1/x小于等于2x-3时，即alnx小于等于1/x+2x-3，可以证明当x大于等于1时，1/x+2x-3是一个增函数，即1/x+2x-3大于等于0，若符合题意，只需 alnx 在x大于等于1范围内恒小于等于0即可，即 alnx小于等于0，又因为当x大于等于1时，lnx恒大于0，所以为满足条件，实数a须小于等于0，故实数a的取值范围为a小于等于0.
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