作业帮针对数列计数收敛问题 怎样用阿贝尔判别法 证明 狄利克雷判别法?如果不能证明请告诉我理由我觉得 回答者：TheodoreBagwe_ - 助理 三级 9-29 20:11答案有点不严谨应为只找到一个例子说明狄利克
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 04:43:46
针对数列计数收敛问题 怎样用阿贝尔判别法 证明 狄利克雷判别法?如果不能证明请告诉我理由我觉得 回答者：TheodoreBagwe_ - 助理 三级 9-29 20:11答案有点不严谨应为只找到一个例子说明狄利克
针对数列计数收敛问题
怎样用阿贝尔判别法 证明 狄利克雷判别法?
如果不能证明请告诉我理由
我觉得 回答者：TheodoreBagwe_ - 助理 三级 9-29 20:11
答案有点不严谨
应为只找到一个例子说明狄利克雷判别法比阿贝尔判别法条件更松，应用更广是不对的，有可能还有一个例子是狄利克雷判别法不能证明而阿贝尔判别法可以证。
有可能是两者是互相推倒的过程
针对数列计数收敛问题 怎样用阿贝尔判别法 证明 狄利克雷判别法?如果不能证明请告诉我理由我觉得 回答者：TheodoreBagwe_ - 助理 三级 9-29 20:11答案有点不严谨应为只找到一个例子说明狄利克
不能
狄利克雷判别法的an单调趋于0满足阿贝尔的第一个条件an单调有界.
第二个条件∑bn部分和有界不能推出bn收敛.也就是说狄利克雷判别法的条件比阿贝尔的要宽松.
例
∞
∑（1/n）cosn∏
n=1
由阿贝尔
an=1/n单调有界
但∑cosn∏不收敛
因为它的部分和Sn=-1(n是奇数）,0（n是偶数）没有极限.
不能由阿贝尔判别收敛
但Sn是有界的由狄利克雷判别法可判断出它是收敛的,所以狄利克雷判别法比阿贝尔判别法条件更松,应用更广.两个判别法不是等价的,阿贝尔判别法是狄利克雷判别法的特殊情况.
如果两种定理可以互相推导就是说两种定理等价.
既然是等价的两个命题为什么狄利克雷判别法可以判定的阿贝尔判别法不能判定.阿贝尔判别法是狄利克雷判别法的一个特例,因为狄利克雷判别法的条件之一部分和有界是一个很宽松的条件,它意味
bn可以是收敛的,也可以不是收敛的,就象我举的例子.那有没有只有阿贝尔判别法可以判定而狄利克雷判别法不能判定的呢?没有.我们在由狄利克雷判别法推倒出阿贝尔判别法时已经证明阿贝尔判别法的两个条件是满足狄利克雷判别法的.因此只要是阿贝尔能判断的狄利克雷也能判断.既然阿贝尔能判断的狄利克雷也能判断那为什么还要阿贝尔判别法?因为由狄利克雷判别法判定满足阿贝尔条件的级数时,我们还要把级数构造成
∑(an-a)bn+a∑bn=∑anbn
的形式,比较繁因此可直接用阿贝尔判别法判定.
从形式上看阿贝尔的an单调有界比狄利克雷的an单调趋于0要宽松,但我们可以通过
∑(an-a)bn+a∑bn=∑anbn
把这个条件转化成单调趋于0
总结：
阿贝尔能判定的狄利克雷一定能判定
狄利克雷能判定的阿贝尔不一定能判定（例如上）
例子不在多,一个反例就足够推翻狄利克雷能判定的阿贝尔也能判定.
不知道我写清楚没.
阿贝尔判别法的条件是
∞
1.∑bn收敛
n=1
2.数列an单调有界 ∞
现在证明满足上面条件的级数∑anbn收敛
n=1
由条件1知∑bn的部分和有界，否则级数不收敛
由条件2根据数列的性质，单调有...
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阿贝尔判别法的条件是
∞
1.∑bn收敛
n=1
2.数列an单调有界 ∞
现在证明满足上面条件的级数∑anbn收敛
n=1
由条件1知∑bn的部分和有界，否则级数不收敛
由条件2根据数列的性质，单调有界数列有极限知an有极限，另它是a
构造级数
∞ ∞ ∞
∑(an-a)bn+a∑bn=∑anbn
n=1 n=1 n=1
数列an-a单调趋于0，级数bn的部分和有界，由狄利克雷判别法知上式左边第一项收敛，那么∑anbn也是收敛的，由狄利克雷判别法推出阿贝尔判别法。
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