作业帮一道数学几何体~别用(弦切角定理)如图.A、B为⊙O上的点,AC是弦,CD是⊙O的切线,C为切点,AD⊥CD于点D.若AC为∠BAD的平分线,求证：（1）AB为⊙O的直径；（2）AC·AC=AB·AD图： 注明：别用(弦切角定理
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 21:32:57
一道数学几何体~别用(弦切角定理)如图.A、B为⊙O上的点,AC是弦,CD是⊙O的切线,C为切点,AD⊥CD于点D.若AC为∠BAD的平分线,求证：（1）AB为⊙O的直径；（2）AC·AC=AB·AD图： 注明：别用(弦切角定理
一道数学几何体~别用(弦切角定理)
如图.A、B为⊙O上的点,AC是弦,CD是⊙O的切线,C为切点,AD⊥CD于点D.若AC为∠BAD的平分线,求证：
（1）AB为⊙O的直径；
（2）AC·AC=AB·AD
图：
注明：别用(弦切角定理)!1
对了，我说不用弦切角定理不是叫你们用另一种方法做，而是把弦切角定理的证明过程写出来
一道数学几何体~别用(弦切角定理)如图.A、B为⊙O上的点,AC是弦,CD是⊙O的切线,C为切点,AD⊥CD于点D.若AC为∠BAD的平分线,求证：（1）AB为⊙O的直径；（2）AC·AC=AB·AD图： 注明：别用(弦切角定理
(1)连OC、OA,则有OC⊥CD于点C.得OC‖AD,知∠OCA=∠CAD.
而∠OCA=∠OAC,得∠CAD=∠OAC.进而有∠OAC=∠BAC.
由此可知,0A与AB重合,即AB为⊙O的直径.
(2)连接BC,且作CE⊥AB于点E.立即可得△ABC为Rt△,且∠ACB=Rt∠.
由射影定理有AC²=AE*AB.又∠CAD=∠CAE,AC公用,∠CDA=∠CEA,得△CEA≌△CDA,有AD=AE,所以,AC²=AB*AD.
第一题重新证明如下：
首先证明弦切角定理,即有∠ACD=∠CBA .
连接OA、OC、BC,则有
∠ACD+∠ACO=90°
=(1/2)(∠ACO+∠CAO+∠AOC)
=(1/2)(2∠ACO+∠AOC)
=∠ACO+(1/2)∠AOC,
所以∠ACD=(1/2)∠AOC,
而∠CBA=(1/2)∠AOC(同弧上的圆周角等于圆心角的一半),
得∠ACD=∠CBA .
另外,∠ACD+∠CAD=90°,∠CAD=∠CAB,
所以有∠CAB+∠CBA=90°,得∠BCA=90°,进而AB为⊙O的直径.