作业帮已知x,y,z属于R,且x+y+z=6,求x^2+y^2+z^2的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 00:59:05
已知x,y,z属于R,且x+y+z=6,求x^2+y^2+z^2的最小值
已知x,y,z属于R,且x+y+z=6,求x^2+y^2+z^2的最小值
已知x,y,z属于R,且x+y+z=6,求x^2+y^2+z^2的最小值
因为x+y+z=6,x^2+y^2≥2xy,y^2+z^2≥2yz,x^2+z^2≥2xz,
所以x^2+y^2+z^2≥xy+yz+xz,
所以x^2+y^2+z^2=（x+y+z)^2-2xy-2xz-2yz
=36-2(xy+xz+yz)≥36-2(x^2+y^2+z^2)
所以3(x^2+y^2+z^2)≥36,x^2+y^2+z^2≥12,
故x^2+y^2+z^2的最小值是12,（当x=y=z=2 时,取得最小值12.）
(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0
3(x^2+y^2+z^2)>=(x+y+z)^2
x^2+y^2+z^2>=(x+y+z)^2/3(实际是个公式）
x^2+y^2+z^2>=12
x^2+y^2+z^2的最小值12
（x^2+y^2+z^2）*3 >=（x^2+y^2+z^2）*(1^2+1^2+1^2)
=（x+y+z)^2=36
=> x^2+y^2+z^2的最小值12 当且仅当x=y=z=2时取到
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补充：
用下柯西公式好了...
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（x^2+y^2+z^2）*3 >=（x^2+y^2+z^2）*(1^2+1^2+1^2)
=（x+y+z)^2=36
=> x^2+y^2+z^2的最小值12 当且仅当x=y=z=2时取到
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补充：
用下柯西公式好了
（x1*y1+x2y2+x3y3)^2<=(x1^2+x2^2+x3^2)*(y1^2+y2^2+y3^2)
等号能够取得的时候注意下就可以了
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