作业帮求一椭圆内接三角形的最大面积.椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)求一圆内解三角形的最大面积，圆的方程为x^2+y^2=R^2(R>0).
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 06:16:02
求一椭圆内接三角形的最大面积.椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)求一圆内解三角形的最大面积，圆的方程为x^2+y^2=R^2(R>0).
求一椭圆内接三角形的最大面积.
椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1
(a>0,b>0)
求一圆内解三角形的最大面积，圆的方程为x^2+y^2=R^2(R>0).
求一椭圆内接三角形的最大面积.椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)求一圆内解三角形的最大面积，圆的方程为x^2+y^2=R^2(R>0).
不太难
知道直角坐标系的三个点的构成的三角形的面积的行列式表达吗?我假设你已经知道
解 首先先容易知道,圆的内接三角形是面积最大时是等面三角形,因为此时三角形的重心和圆心重合.按照圆的方程为 x^2+y^2=R^2(R>0).此时正三角形的面积为 [(3*根号3)/4]*R平方
已知椭圆的方程为 x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>0,b>0)
则 设椭圆上的点 A(acosα,bsinα) B(acosβ,bsinβ) C(acosγ,bsinγ)
那么三角形ABC的面积为 一个行列式,因为我这里无法打出行列式,请自己查询一下吧,现在设为S
另外以 椭圆的长轴为半径的圆,三点在其上的垂直投影的交点为
A1(acosα,asinα) B1(acosβ,asinβ) C1(acosγ,asinγ)
这样 三角形A1B1C1 的面积设为 S1
根据行列式的性质 S=(b*S1)/a
由于已知 S1的最大值为[(3*根号3)/4]*a平方
所以 椭圆内接三角形的最大面积为 [(3*根号3)/4]*a*b
下面我补充一下行列式的性质
在三角形ABC中,如果坐标是A(acosα,bsinα) B(acosβ,bsinβ) C(acosγ,bsinγ)
acosα bsinα 1
则三角形ABC的面积=|acosβ bsinβ 1 |
acosγ bsinγ 1
其中 acosα bsinα 1 cosα sinα 1
则三角形ABC的面积=|acosβ bsinβ 1 |=ab|cosβ sinβ 1|
acosγ bsinγ 1 cosγ sinγ 1
因为只要行或者列有相同的因子都可以提出来
至于这个行列式等于什么,并不重要,此题只是借助这个符号来解决问题.你看,最后的结果不是并没有求出它等于什么吗?如果你感兴趣可以查一下资料.
若a>b>0 S=∏*B^2
若B>A>0 S=∏*A^2