作业帮已知△ABC中,∠BAC=2∠ACB,点D是△ABC内的一点,且AD=CD,BD=BA.探索∠DBC与∠ABC度数的比值.请你完成下列探索过程：选将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证明.（1）当∠BAC=90°时,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 07:47:40
已知△ABC中,∠BAC=2∠ACB,点D是△ABC内的一点,且AD=CD,BD=BA.探索∠DBC与∠ABC度数的比值.请你完成下列探索过程：选将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证明.（1）当∠BAC=90°时,
已知△ABC中,∠BAC=2∠ACB,点D是△ABC内的一点,且AD=CD,BD=BA.探索∠DBC与∠ABC度数的比值.请你完成下列探索过程：选将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证明.
（1）当∠BAC=90°时,依问题中的条件补全右图.
观察图形,AB与AC的数量关系为————；当推出∠DAC=15°时,可进一步推出∠DBC的度数为————；可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为————；
（2）当∠BAC≠90°时,请你画出图形,研究∠DBC与∠ABC度数比值是否与（1）中的结论相同,写出你的猜想并加以证明.
已知△ABC中,∠BAC=2∠ACB,点D是△ABC内的一点,且AD=CD,BD=BA.探索∠DBC与∠ABC度数的比值.请你完成下列探索过程：选将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证明.（1）当∠BAC=90°时,
(1) AB=AC,15°,1：3
（1）当∠BAC=90°时，依问题中的条件补全右图； 观察图形，AB与AC的数量关系为 相等 ；当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC的度数为 15° ；可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为 1：3 ；
（1）①当∠BAC=90°时，
∵∠BAC=2∠ACB，
∴∠ACB=45°，
在△ABC中，∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=45°，
∴∠ACB=∠ABC，
∴AB=AC（等角对等边）；
②当∠DAC=15°时，
∠DAB=90°-15°=75°，
∵BD=BA，
∴∠BAD=∠BDA=75°，
∴∠DBA=...
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（1）①当∠BAC=90°时，
∵∠BAC=2∠ACB，
∴∠ACB=45°，
在△ABC中，∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=45°，
∴∠ACB=∠ABC，
∴AB=AC（等角对等边）；
②当∠DAC=15°时，
∠DAB=90°-15°=75°，
∵BD=BA，
∴∠BAD=∠BDA=75°，
∴∠DBA=180°-75°-75°=30°，
∴∠DBC=45°-30°=15°，即∠DBC=15°，
∴∠DBC的度数为15°；
③∵∠DBC=15°，∠ABC=45°，
∴∠DBC=15°，∠ABC=45°，
∴∠DBC：∠ABC=1：3，
∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3．
（2）猜想：∠DBC与∠ABC度数的比值与（1）中结论相同．
证明：如图2，作∠KCA=∠BAC，过B点作BK∥AC交CK于点K，连接DK．
∴四边形ABKC是等腰梯形，
∴CK=AB，
∵DC=DA，
∴∠DCA=∠DAC，
∵∠KCA=∠BAC，
∴∠KCD=∠3，
∴△KCD≌△BAD，
∴∠2=∠4，KD=BD，
∴KD=BD=BA=KC．
∵BK∥AC，
∴∠ACB=∠6，
∵∠BAC=2∠ACB，且∠KCA=∠BAC，
∴∠KCB=∠ACB，
∴∠5=∠ACB，
∴∠5=∠6，
∴KC=KB，
∴KD=BD=KB，
∴∠KBD=60°，
∵∠ACB=∠6=60°-∠1，
∴∠BAC=2∠ACB=120°-2∠1，
∵∠1+（60°-∠1）+（120°-2∠1）+∠2=180°，
∴∠2=2∠1，
∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3．
收起
∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3 证明：如图，作BM∥AC，并使∠MCA=∠BAC ∵∠BAC≠90° ∴∠MCA+∠BAC≠180° ∴AB不平行于CM 又∵BM∥AC，且∠MCA=∠BAC ∴四边形MCAB是等腰梯形 ∴AB=CM ∵AD=CD ∴∠DCA=∠DAC 又∵∠MCA=∠BAC ∴∠MCA－∠DCA=∠BAC－∠DAC 即 ∠MCD=∠BAD ∴△M...
全部展开
∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3 证明：如图，作BM∥AC，并使∠MCA=∠BAC ∵∠BAC≠90° ∴∠MCA+∠BAC≠180° ∴AB不平行于CM 又∵BM∥AC，且∠MCA=∠BAC ∴四边形MCAB是等腰梯形 ∴AB=CM ∵AD=CD ∴∠DCA=∠DAC 又∵∠MCA=∠BAC ∴∠MCA－∠DCA=∠BAC－∠DAC 即 ∠MCD=∠BAD ∴△MCD≌△BAD（SAS）（条件就是上面的粗体字） ∴MD=BD 又∵BD=BA，BA=MC ∴MD=BD=BA=MC ∵∠MCA=∠BAC，∠BAC=2∠ACB ∴∠MCA=2∠ACB ∴∠MCB=∠ACB ∵BM∥AC ∴∠ACB=∠MBC ∴∠MCB=∠MBC ∴MC=MB ∴MB=MD=BD ∴△MDB为等边三角形 ∴∠MBD=60° ∴∠BCA=∠MBC=∠MBD－∠CBD=60°－∠CBD ∵∠BAC=2∠ACB=2（60°－∠CBD）=120°－2∠CBD ∵在△ABC中，∠BCA+∠BAC+∠ABC=180° ∴（60°－∠CBD）+（120°－2∠CBD）+（∠CBD+∠ABD）=180° ∴∠ABD=2∠CBD ∴∠DBC：∠ABC=∠DBC：（∠ABD+∠DBC）=∠DBC：3∠DBC=1：3
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100