已知正三角形ABC边长为a,当一点P在三角形ABC的外接圆上的劣弧AB（AB上面有一弧）上移动时,求S三角形PAC +S三角形PAB的最大值

已知正三角形ABC边长为a,当一点P在三角形ABC的外接圆上的劣弧AB（AB上面有一弧）上移动时,求S三角形PAC +S三角形PAB的最大值
已知正三角形ABC边长为a,当一点P在三角形ABC的外接圆上的劣弧AB（AB上面有一弧）上移动时,求S三角形PAC +S三角形PAB的最大值

已知正三角形ABC边长为a,当一点P在三角形ABC的外接圆上的劣弧AB（AB上面有一弧）上移动时,求S三角形PAC +S三角形PAB的最大值
正三角形中心为O,半径r.
a/sin60=2r
r=a/2sin60=a/根号3
设∠PAB=m
∠PAO=m+30
PA=2rcos∠PAO=2acos(m+30)/根号3
S三角形PAC+S三角形PAB
=PA*ACsin(m+60)/2+PA*ABsinm/2
=2acos(m+30)/根号3*asin(m+60)/2+2acos(m+30)/根号3*asinm/2
=a^2/根号3*[cos(m+30)sin(m+60)+cos(m+30)sinm]
cos(m+30)sin(m+60)+cos(m+30)sinm
=(cosmcos30-sinm/2)(sinm/2+cosmsin60)+(cosmcos30-sinm/2)sinm
=3(cosm)^2/4-(sinm)^2/4+sinmcosmcos30-(sinm)^2/2
=3/4[(cosm)^2-(sinm)^2]+sin2mcos30/2
=3cos2m/4+根号3sin2m/4
=根号3/2[根号3/2cos2m+sin2m/2]
=根号3/2*sin(2m+60)
0

4分之根号3乘以a方

是挺难的 我再好好想一下

(√3/4)a^2.
设角ACP=x,角APC=角BPC=60,sin(120-x)/PC=sin60/a,
由正弦定理得PC=a*sin(120-x)/sin60=√3a*sin(120-x)/2,
S三角形PAC=a*PC*sinx/2,S三角形PAB=a*PC*sin(60-x)/2
故S三角形PAC+S三角形PAB=a*PC(sinx+sin(60-x))/...

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(√3/4)a^2.
设角ACP=x,角APC=角BPC=60,sin(120-x)/PC=sin60/a,
由正弦定理得PC=a*sin(120-x)/sin60=√3a*sin(120-x)/2,
S三角形PAC=a*PC*sinx/2,S三角形PAB=a*PC*sin(60-x)/2
故S三角形PAC+S三角形PAB=a*PC(sinx+sin(60-x))/2
=√3a^2*(sin(120-x))(sinx+sin(60-x))/4 (1)
由sin(120-x)(sinx+sin(60-x))
=sin(60+x)(sinx+sin(60-x))=sin(60+x)cos(x-30)=(sin(60+x))^2,
代入(1)得
S三角形PAC+S三角形PAB=√3a^2*(sin(60+x))^2)/4
显然x=30,上式取最大值(√3/4)a^2.

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设在三角形PAB和PAC的共边PA对应的角为C,且C [0,60];
S（PAC+PAB)=1/2*PB*AB*sinC+1/2*PC*AC*sinC（三角形正弦面积公式）
=1/2*a*sinC*(PB+PC) ..... (1) (AB=AC=a)
又利用三角形正弦公式可知：设三角形ABC的外接圆半径为R，由三角形正弦公式得2R=AB/sin120，即R= a/3...

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设在三角形PAB和PAC的共边PA对应的角为C,且C [0,60];
S（PAC+PAB)=1/2*PB*AB*sinC+1/2*PC*AC*sinC（三角形正弦面积公式）
=1/2*a*sinC*(PB+PC) ..... (1) (AB=AC=a)
又利用三角形正弦公式可知：设三角形ABC的外接圆半径为R，由三角形正弦公式得2R=AB/sin120，即R= a/3; .....(2)
设三角形PBC中边PB的对角为角A,A=60度-角C；角BPC=60度，角PBC=120度-角A；
利用三角形正弦公式：PB/ =PC/ =2R
可得：PB=2R*sin(60-C) .........(3)
PC=2R*sin(60+C) .........(4)
将（2）,(3),(4)代入（1）中可得：
SPAC+PAB=1/2*a*sin C*【2R*sin(60-C)+2R* sin(60+C)】
=1/2*a* sinC*2R*[【sin(60-C)+sin(60+C)】
=a*R*sinC*2sin60*cosC (利用和差化积)
=a*R*sin60*sin2C
由于角C [0,60]，a,R ,sin60,均为固定值，
所以当角C=45度，即sin2C=1时，两个三角形面积和最大，此时点P位于劣弧AB靠近点B的1/4分割点处，
且S(PAC+PAB)= a*R*sin60= 1/2*a*a

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延长CP至D,使PB=PD.∠CPA=60°.∠DPA＝180°-60=120°=∠BPA.

∴⊿DPA≌⊿BPA（S.A.S）.AD=AB=AC=a.

S⊿PAC+S⊿PAB＝S⊿CAD＝（1/2）a²sin（180°-2∠ACD）=（a²/2）sin2∠ACD

显然，当∠ACD＝45°时，sin2∠ACD＝1.S⊿PAC+S⊿PAB＝a²/2为最大值。

问题可转化为求P点到AB、AC距离和最大，确定P后再求面积。
建立坐标，P（x0,y0），π/2<=x<=7π/6；AB方程为3x-根3y+a=0;
AC方程为3x+根3y-a=0;
所以P到AB、AC距离和为-根3x0(这里去绝对值的时候运用原点来判断P点是否与0同侧知去绝对值后都变号)；所以最大值为P在x轴时得最大值，即P坐标为-a/根3，从而距离和最大为a;
...

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问题可转化为求P点到AB、AC距离和最大，确定P后再求面积。
建立坐标，P（x0,y0），π/2<=x<=7π/6；AB方程为3x-根3y+a=0;
AC方程为3x+根3y-a=0;
所以P到AB、AC距离和为-根3x0(这里去绝对值的时候运用原点来判断P点是否与0同侧知去绝对值后都变号)；所以最大值为P在x轴时得最大值，即P坐标为-a/根3，从而距离和最大为a;
从而面积最大值为a*a/2=a^2/2

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