作业帮在曲面27xy2z3=4上求切平面,使它在三个坐标轴上的截距相等
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 17:21:25
在曲面27xy2z3=4上求切平面,使它在三个坐标轴上的截距相等
在曲面27xy2z3=4上求切平面,使它在三个坐标轴上的截距相等
在曲面27xy2z3=4上求切平面,使它在三个坐标轴上的截距相等
在曲面27xy²z³=4上求切平面,使它在三个坐标轴上的截距相等
设F(x,y,z)=27xy²z³-4=0,M(x₀,y₀,z₀)是该曲面上的一点.
∂F/∂x=27y²z³； ∂F/∂y=54xyz³； ∂F/∂z=81xy²z²；那么过M的切平面方程为：
27y₀²z₀³(x-x₀)+54x₀y₀z₀³(y-y₀)+81x₀y₀²z₀²(z-z₀)=0
化简得y₀z₀(x-x₀)+2x₀z₀(y-y₀)+3x₀y₀(z-z₀)=0
即有y₀z₀x+2x₀z₀y+3x₀y₀z-6x₀y₀z₀=0.(1)
令y=0,z=0,得切平面在x轴上的截距x=6x₀；
令x=0,z=0,得切平面在y轴上的截距y=3y₀；
令x=0,y=0,得切平面在z轴上的截距z=2z₀.
已知6x₀=3y₀=2z₀=a,故x₀=a/6,y₀=a/3,z₀=a/2；代入曲面方程得：
27(a/6)(a/3)²(a/2)³=27a⁶/(6×9×8)=4
由此得a⁶=4×6×9×8/27=64,故得a=2.
∴x₀=1/3；y₀=2/3；z₀=1.代入(1)式即得在三个坐标轴的截距都相等的切平面方
程为：(2/3)x+(2/3)y+(2/3)z-4/3=0
化简得x+y+z-2=0为所求.
在曲面27xy2z3=4上求切平面,使它在三个坐标轴上的截距相等
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曲面x2+y2+z=9在点 1 2 4处切平面方程级发现方程
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