关于泰勒展式的一个问题.f(x)在[0,1]上二阶可导,f(0)=f(1)=0,min[f(x)]=-1 (0≤x≤1).求证 min[f''(x)] ≤ 1/8.谢!题目来源： 裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》（第二版）第245页。

关于泰勒展式的一个问题.f(x)在[0,1]上二阶可导,f(0)=f(1)=0,min[f(x)]=-1 (0≤x≤1).求证 min[f''(x)] ≤ 1/8.谢!题目来源： 裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》（第二版）第245页。
关于泰勒展式的一个问题.
f(x)在[0,1]上二阶可导,f(0)=f(1)=0,min[f(x)]=-1 (0≤x≤1).
求证 min[f''(x)] ≤ 1/8.
谢!
题目来源： 裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》（第二版）第245页。

关于泰勒展式的一个问题.f(x)在[0,1]上二阶可导,f(0)=f(1)=0,min[f(x)]=-1 (0≤x≤1).求证 min[f''(x)] ≤ 1/8.谢!题目来源： 裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》（第二版）第245页。
证明：
f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1)=0,min[f(x)] = - 1
∴ 最小值在 (0,1) 内取得,即存在 a ∈（0,1）使 f(a) = -1,且 f ‘(a)=0
将f(0),f(1)分别应用x=a处给出一阶Taylor展开：
f(0) = f(a) + f ‘(a) a + f ‘'(ξ) a² /2 = -1 + f ‘'(ξ) a² /2 （0

你好 这个证明写不出来啊 百度限制了

任何函数都有泰勒展式，但不一定能展成泰勒级数。

取f(x)=4x^2-4x，显然f(0)=f(1)=0, min(f(x))=f(1/2)=-1
但是 f''(x)=8
所以原问题结论不正确。

证明：
因为f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0
所以存在a∈（0,1）使f‘(a)=0，且选择a为最小值点;
则f(a)=min[f(x)]=-1 (0≤x≤1)
将f(0),f(1)分别应用x=a处得Taylor展开：
f(0)=f(a)+f‘(a)a+f‘'(b)a^2/2 （0f(1...

全部展开

证明：
因为f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0
所以存在a∈（0,1）使f‘(a)=0，且选择a为最小值点;
则f(a)=min[f(x)]=-1 (0≤x≤1)
将f(0),f(1)分别应用x=a处得Taylor展开：
f(0)=f(a)+f‘(a)a+f‘'(b)a^2/2 （0f(1)=f(a)+f‘(a)(1-a)+f‘'(c)(1-a)^2/2 (a即f‘'(b)=2/(a^2)，f‘'(c)=2/[(1-a)^2]
若0若0若0<1-a1/2,此时f‘'(b)<8综上所述， max[f''(x)] ≥8.
或min[f''(x)] ≤8.
还真有可能是题目看错了吧？

收起

没文化真可怕！你是哪个朝代的？

而额

f''是？

dtjhthyetjuh

cgnxffgx

vbnhmhyjmn

任何函数都有泰勒展式，但不一定能展成泰勒级数。当泰勒余项能用省略号表示一个函数能展开成泰勒级数是有条件的，就是它的泰勒展开式中的泰勒余项在n

1

题目错了，取f(x)=4(x²-x)，满足所有条件，但f''(x)=8，故minf''(x)=8>1/8
事实上结论应该是minf''(x)≤8，这个结论不能再加强了，否则可以以f(x)=4(x²-x)来反驳。下面证明minf''(x)≤8。
用反证法。
假设minf''(x)>8，即f''(x)恒大于8
设f(x)在点s取得最小值，那么f(s)...

全部展开

题目错了，取f(x)=4(x²-x)，满足所有条件，但f''(x)=8，故minf''(x)=8>1/8
事实上结论应该是minf''(x)≤8，这个结论不能再加强了，否则可以以f(x)=4(x²-x)来反驳。下面证明minf''(x)≤8。
用反证法。
假设minf''(x)>8，即f''(x)恒大于8
设f(x)在点s取得最小值，那么f(s)=-1且f'(s)=0
由泰勒展开式(在x=s处)有
f(x)=f(s)+f'(s)(x-s)+(1/2)f''(ξ)(x-s)²=-1+(1/2)f''(ξ)(x-s)²，其中ξ介于x与s之间。
注意到f''(x)恒大于8，所以当x≠s时
f(x)=-1+(1/2)f''(ξ)(x-s)²>-1+4(x-s)²
再分别取x=0,1即得
1>4s²，1>4(1-s)²
即
1>2s，1>2(1-s)
两式相加得2>2，矛盾！
于是假设不成立，即minf''(x)≤8
希望有帮助！

收起