利用导数证不等式：请写出详细过程,谢谢!

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 03:07:54

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证明：
∵f'(x)=1+lnx
当lnx>-1时,f'(x)>0
∴f(x)在lnx>1时单调递增
∵x2>x1>0
∴f(x2)>f(x1)
令g(x)=f(x)/x=lnx
当x>0时,g'(x)=1/x>0
∴g(x)在x>0时单调递增
∴g(x2)>g(x1)
即f(x2)/x2>f(x1)/x1
x1f(x2)>x2f(x1)
∴ x1f(x1)+x2f(x2)-2x2f(x1)
>x1f(x1)+x2f(x2)-x1f(x2)-x2f(x1)
=x1*[f(x1)-f(x2)]+x2*[f(x2)-f(x1)]
=(x1-x2)*[f(x1)-f(x2)]>0
∴x1f(x1)+x2f(x2)>2x2f(x1)

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