y = x + √(1-x^2)用三角换元做,过程中发现cos开方后有正负,√(sin²t)=sint 的话，为什么不是 原式=cost+sint 而是“-”

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 19:22:53

y = x + √(1-x^2)用三角换元做,过程中发现cos开方后有正负,√(sin²t)=sint 的话，为什么不是 原式=cost+sint 而是“-”
y = x + √(1-x^2)
用三角换元做,过程中发现cos开方后有正负,
√(sin²t)=sint 的话，为什么不是 原式=cost+sint 而是“-”

y = x + √(1-x^2)用三角换元做,过程中发现cos开方后有正负,√(sin²t)=sint 的话，为什么不是 原式=cost+sint 而是“-”
这个问题这样解决：
为了避免讨论根号开出来的三角函数的正负性,可以令x=cost,这样1-x²=sin²t,
【如果0≤t≤π,这样一方面满足了x的定义域,另一方面保证了此时的
√(1-x²)=sint,也就避免了根号开出来的正负讨论了.】【核心!】
原式=cost+sint=√2sin(t+π/4)
0≤t≤π => π/4≤t+π/4≤5π/4
故值域为[-1,√2]

令x=cost
所以1-x²=sin²t
所以√(1-x^2)=sint
所以原式=cost-sint=√2sin(t-u)
所以值域为[-√2,1]

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