高二数学三角函数好难啊!已知a+b+c=0,求sina+sinb+sinc的最大值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/06 10:29:17

高二数学三角函数好难啊!已知a+b+c=0,求sina+sinb+sinc的最大值
高二数学三角函数好难啊!
已知a+b+c=0,求sina+sinb+sinc的最大值

高二数学三角函数好难啊!已知a+b+c=0,求sina+sinb+sinc的最大值
sina+sinb+sinc
=sina+2sin(b/2+c/2)cos(b/2-c/2)
=sina-2sin(a/2)cos(b/2-c/2)
设sin(a/2)≤0,则
原式≤sina-2sin(a/2),当cos(b/2-c/2)=1时取等号
令A=sina-2sin(a/2)
A=2sin(a/2)cos(a/2)-2sin(a/2)
=-2sin(a/2)[1-cos(a/2)]
=2*2sin(a/4)cos(a/4)*2sin(a/4)^2
=8sin(a/4)^3*cos(a/4)
A^2=64sin(a/4)^6*cos(a/4)^2
令x=cos(a/4)^2,f(x)=A^2,则x∈[0,1]
f(x)=64x(1-x)^3
f'(x)=64[(1-x)^3-3x(1-x)^2]
=64(1-4x)(1-x)^2
当f'(x)=0时f(x)取极值,解得x=1或1/4
x=1时,f(x)=0;x=1/4时,f(x)=27/4;x=0时,f(x)=0.
故A^2的最大值为27/4,A的最大值为3根号3比2.(根号实在打不出了)
综上,原式的最大值为3根号3比2,当sin(a/2)≤0且cos(b/2-c/2)=1且cos(a/4)^2=1/4时取的,例如a=-4π/3,b=c=2π/3时.

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