作业帮设a＞0,f(x)=x^2+a｜lnx-1｜,当x≥1时,求函数最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 04:46:34
设a＞0,f(x)=x^2+a｜lnx-1｜,当x≥1时,求函数最小值
设a＞0,f(x)=x^2+a｜lnx-1｜,当x≥1时,求函数最小值
设a＞0,f(x)=x^2+a｜lnx-1｜,当x≥1时,求函数最小值
（1）当 1≤x≤e时,0≤lnx≤1,lnx -1≤0,
所以 f(x)=x^2+a｜lnx-1｜=f(x)=x^2-alnx+a,
f‘（x）=2x-a/x=（2x²-a）/x,
如果a＜2,则f'(x)＞0,即f（x）在1≤x≤e上为增函数,f（x）min=f（1）=1；
如果2≤a≤2e²时,在1≤x＜√(a/2) f’（x）＜0,在 √(a/2) ＜x≤e f’（x）＞0,
所以 f（x）min=f（√(a/2) ）=3a/2+a/2*ln（a/2）；
如果a＞2e²时,f'(x)＜0,即f（x）在1≤x≤e上为减函数,f（x）min=f（e）=e²；
函数的最小值为 f（1）=1；
（2）当x＞e时,f（x）=x^2+a｜lnx-1｜=f(x)=x^2+alnx-a,
f‘（x）=2x+a/x＞0,即f（x）在x＞e上为增函数,
f（x）min=f（e）=e²；
综上,有
如果a＜2,f（x）的最小值为1；
如果2≤a≤2e²,f（x）的最小值为3a/2+a/2*ln（a/2）；
如果a＞2e²,f（x）的最小值为e² .
设a＞0，f(x)=x^2+a｜lnx-1｜,当x≥1时，求函数最小值
当x=1时，f(x)=x²+a=1+a；
当1
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设a＞0，f(x)=x^2+a｜lnx-1｜,当x≥1时，求函数最小值
当x=1时，f(x)=x²+a=1+a；
当1
当x≧e时，f(x)=x²+alnx-a，由于f′(x)=2x+a/x=(2x²+a)/x>0，故f(x)=x²+alnx-a单调增加，故其最小
值=f(e)=e².
综上所述，在a>0的条件下，当x≧1时，f(x)=x^2+a｜lnx-1｜的最小值=e².
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