抛物线y^2=8x的动弦AB的长为6,求弦AB的中点M到y轴的最短距离如果过程写起来太麻烦,就直接写答案好了,我做出来一个很奇怪的数字.可是为什么我觉得是过焦点的AB的中点是最短距离啊?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 11:29:11

抛物线y^2=8x的动弦AB的长为6,求弦AB的中点M到y轴的最短距离如果过程写起来太麻烦,就直接写答案好了,我做出来一个很奇怪的数字.可是为什么我觉得是过焦点的AB的中点是最短距离啊?
抛物线y^2=8x的动弦AB的长为6,求弦AB的中点M到y轴的最短距离
如果过程写起来太麻烦,就直接写答案好了,我做出来一个很奇怪的数字.
可是为什么我觉得是过焦点的AB的中点是最短距离啊?

抛物线y^2=8x的动弦AB的长为6,求弦AB的中点M到y轴的最短距离如果过程写起来太麻烦,就直接写答案好了,我做出来一个很奇怪的数字.可是为什么我觉得是过焦点的AB的中点是最短距离啊?
y^2=8x
p=4,焦点坐标为：(2,0),准线为x=-2
过焦点的直线为y=k(x-2),
与抛物线方程联立得：k^2(x-2)^2=8x
化简得：k^2x^2-(4k^2+8)x+4k^2=0
x1+x2=(4k^2+8)/k^2=4+8/k^2≥4
弦中点M到y轴的距离＝(x1+x2)/2≥2
该抛物线过焦点弦长为6的弦不存在,因为抛物线的点到焦点距离=到准线距离,那么
设两点坐标为x1,x2,则：x1-(-2)+x2-(-2)=6,得：x1+x2=2,与上式矛盾.
其实,可以假设直线过(0,c)点,则该直线可写为y=k(x-c),代入抛物线方程得：
k^2(x-c)^2=8x,化简得：k^2x^2-(2ck^2+8)x+k^2c^2=0
x1+x2=(2ck^2+8)/k^2=2c+8/k^2
弦中点M到y轴的距离＝(x1+x2)/2＝c+4/k^2
显然,只有但k趋向无穷大的时候,取得最小值c.即抛物线与x=c的交点弦.
所以要满足题意,y=±3,x=9/8即M到y轴的最短距离.

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