作业帮抛物线y2=8x的动弦AB的长为16,求弦AB的中点M到y轴的最短距离
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 09:14:15
抛物线y2=8x的动弦AB的长为16,求弦AB的中点M到y轴的最短距离
抛物线y2=8x的动弦AB的长为16,求弦AB的中点M到y轴的最短距离
抛物线y2=8x的动弦AB的长为16,求弦AB的中点M到y轴的最短距离
设直线AB的方程为：x=ky+b
和抛物线方程联立：y²=8(ky+b)
y²-8ky-8b=0
y1+y2=8k
y1·y2=-8b
则(y1-y2)²=(y1+y2)²-4y1y2=64k²+32b
∴(x1-x2)²=[(ky1+b)-(ky2+b)]²=(ky1-ky2)²=k²(y1-y2)²
弦AB的长为：
√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]
=√[(k²+1)(y1-y2)²]
=√[(k²+1)(64k²+32b)]
=4√[(k²+1)(4k²+2b)]
=16
√[(k²+1)(4k²+2b)]=4
(k²+1)(4k²+2b)=16
2k²(k²+1)+b(k²+1)=8
b(k²+1)=8-2k²(k²+1)
b=[8-2k²(k²+1)]/(k²+1)=8/(k²+1)-2k²
而(x1+x2)/2=(ky1+b+ky2+b)/2=k(y1+y2)/2+b=4k²+b
∴点M的横坐标为：4k²+b
即M到y轴的距离为：4k²+b
而4k²+b
=4k²+8/(k²+1)-2k²
=2k²+8/(k²+1)
=2(k²+1)+8/(k²+1)-2
≥2√[2(k²+1)×8/(k²+1)]-2
=2√16-2
=2×4-2
=6
当且仅当2(k²+1)=8/(k²+1),k²=1时等号成立
∴当k²=1时,弦AB的中点M到y轴的距离最短,是6
法二
设A（x1,y1）B(x2,y2)
结合定义可得
弦AB的中点M到Y轴的距离最短,则弦AB过焦点
y^2=8x
焦点（2,0）准线x=-2
AB的长为16
则x1+2+x2+2=16
x1+x2=12
中点M到Y轴的距离=(x1+x2)/2=6
抛物线y²=8x的弦AB，连接FA、FB，其中，F是抛物线的焦点，F(2，0)
作抛物线的准线L：x=－2，过点A、B分别向准线L作垂线，垂足分别是：D、C，过线段AB中点M，作MN垂直L于点N。
则：
FA=AD、FB=BC、MN=(1/2)(AD＋BC)
在三角形ABF中，有：
FA＋FB≥AB
则：
AB≤AD＋BC=2MN<...
全部展开
抛物线y²=8x的弦AB，连接FA、FB，其中，F是抛物线的焦点，F(2，0)
作抛物线的准线L：x=－2，过点A、B分别向准线L作垂线，垂足分别是：D、C，过线段AB中点M，作MN垂直L于点N。
则：
FA=AD、FB=BC、MN=(1/2)(AD＋BC)
在三角形ABF中，有：
FA＋FB≥AB
则：
AB≤AD＋BC=2MN
MN≥(1/2)AB=8
也就是说，MN的最小值是8
所以，AB的中点M到y轴的距离最小是8－(p/2)=6
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