超越数的证明超越数存在性的那个构造的证明是谁给出的?怎么证的?后面答题的请注意，二楼那位"新一代旧人"是个反面例子，我决对不会选类似像他那样的答案哈哈 高悬赏就是不一样，没

超越数的证明超越数存在性的那个构造的证明是谁给出的?怎么证的?后面答题的请注意，二楼那位"新一代旧人"是个反面例子，我决对不会选类似像他那样的答案哈哈 高悬赏就是不一样，没
超越数的证明
超越数存在性的那个构造的证明是谁给出的?怎么证的?
后面答题的请注意，二楼那位"新一代旧人"是个反面例子，我决对不会选类似像他那样的答案
哈哈 高悬赏就是不一样，没人理我，今天来个高悬赏，答案五花八门

超越数的证明超越数存在性的那个构造的证明是谁给出的?怎么证的?后面答题的请注意，二楼那位"新一代旧人"是个反面例子，我决对不会选类似像他那样的答案哈哈 高悬赏就是不一样，没
不学二楼,我自己写\x0d\x0d是柳维尔 构造出了 一个数Z 然后证明这个数是超越数.\x0d\x0d首先要了解 柳维尔定理：\x0d 假设 z满足 整数系数方程：F(x)=a0 +a1x+ a2x^2+.anx^n=0,\x0d(an≠0),但不满足更低次数的方程,这时就称z为n次代数数.\x0d例如：√2 是一个2次代数数.因为它满足 x^2 -2=0 ,但不满足一次方程.2^(1/3)是一个3次代数数.\x0d而任何一个 n>1 次代数数,都不可能是有理数,因为有理数 必定满足\x0dQx-P=0 这个一次方程.而对于每一个无理数z 都能找到一个分母越来越大的有理数列 ：P1/Q1,P2/Q2 .使得 Pr/Qr → z .\x0d\x0d柳维尔断言 对于n>1次的任意代数数 z,这样一个逼近,精度必定达不到 1/(Qr)^(n+1),\x0d即：| z - Pr/Qr |＞ 1/(Qr)^(n+1) -------(1) \x0d(1)就是柳维尔定理 \x0d\x0d\x0d下面先来说明如何应用这个定理来 构造超越数.\x0d\x0d取 \x0dZ =a1 10^-(1!)+a210^-(2!) +..+ am10^-(m!) +a(m+1)10^-(m+1)!..\x0d=0.a1a2000a300000000000000000a4000.\x0d可以看清楚的图片:\x0d



\x0d 其中ai 是1到9的任意整数,若在Z的展式中只取到am 10^-(m!)这一项,记为：Zm,Zm为一有理数.\x0d那么 |Z - Zm|＜10* 10^-(m+1)!------(2)\x0d\x0d假设 Z是n次代数数,\x0d 则在公式 (1)柳维尔定理中 令Zm= Pr/Qr= Pr/10^(m!) 则根据（1）得出：|Z -Zm|> 1/10^[(n+1)m!] -----(3)\x0d\x0d(3)和(2) 就可以推出：(n+1)m!> (m+1)!-1 对于充分大的m恒立.\x0d然而 这个不等式 对于大于n 的 m 是不成立的.这就得出矛盾\x0d所以Z 是超越数.

历史上第一个证明了超越数存在性的是法国数学家刘维尔（J.Liouville,1809~1882）,
他于1851年构造了一个数：这个无限小数后来被称为“刘维尔数”。刘维尔成功地证明了这个数是一个超越数。

刘维尔的方法则是构造性的方法，即实际地生成一个对象并给出证明。这两种方法都是数学证明中的常用方法。
我所知道的三个著名超越数都是无理数,他们是:
圆周...

全部展开

历史上第一个证明了超越数存在性的是法国数学家刘维尔（J.Liouville,1809~1882）,
他于1851年构造了一个数：这个无限小数后来被称为“刘维尔数”。刘维尔成功地证明了这个数是一个超越数。

刘维尔的方法则是构造性的方法，即实际地生成一个对象并给出证明。这两种方法都是数学证明中的常用方法。
我所知道的三个著名超越数都是无理数,他们是:
圆周率π=3.14159265358979323846...
自然对数的底e=2.718281828459045...
拉常数γ=0.5772156649015328
这个证明属于Ivan Niven。假设pi=a/b，我们定义（对某个n）：
f(x) = (x^n) * (a-bx)^n / n!
F(x) = f(x) + ... + (-1)^j * f^(2j)(x) + ... + (-1)^n * f^(2n)(x)
这里f^(2j)是f的2j次导数.
于是f和F有如下性质（都很容易验证）:
1)f(x)是一个整系数多项式除以n!。
2)f(x) = f(Pi - x)
3)f在(0,pi)区间上严格递增，并且x趋于0时f(x)趋于0，
x趋于pi时f(x)趋于pi^n * a^n / n!
4)对于0 <= j < n, f的j次导数在0和pi处的值是0。
5)对于j >= n, f的j次导数在0和pi处是整数（由1)可知）。
6)F(0)和F(pi)是整数（由4)，5)可知）。
7)F + F'' = f
8)(F'·sin - F·cos)' = f·sin （由7)可知）。
这样，对f·sin从0到pi进行定积分，就是
(F'(pi)sin(pi)-F(pi)cos(pi)) - (F'(0)sin(0)-F(0)cos(0))
=F(pi)+F(0)
由6)可知这是个整数。
问题在于如果把n取得很大，由3)可知f·sin从0到pi进行定积分必须严格大于0严格小于1。矛盾，证毕。

收起

我们老师曾经给我们证明过π是超越数，不过早忘了

超越数存在性的那个构造的证明是刘维尔给出的。
超越数就是实数中不能表为代数方程根的那部分。与之相应，代数数是可以表为代数方程的根的数。
在实数中，代数数是可数的，所以超越数是不可数的。

可以证明超越数有无穷多个。在实数中除了代数数外，其余的都是超越数。实数可以作如下分类：
实数
/ ＼
代数数 超越数
｜ ＼
有理数 无理数
超越数的存在是由法国数学家刘维尔（Joseph Liouville，1809—1882）在1844年最早证明的。关于超越数的存在，刘维尔写出了下面这样一个无限小数：a=0.11...

全部展开

可以证明超越数有无穷多个。在实数中除了代数数外，其余的都是超越数。实数可以作如下分类：
实数
/ ＼
代数数 超越数
｜ ＼
有理数 无理数
超越数的存在是由法国数学家刘维尔（Joseph Liouville，1809—1882）在1844年最早证明的。关于超越数的存在，刘维尔写出了下面这样一个无限小数：a=0.110001000000000000000001000…，并且证明取这个a不可能满足任何整系数代数方程，由此证明了它不是一个代数数，而是一个超越数。后来人们为了纪念他首次证明了超越数，所以把数a称为刘维尔数。
刘维尔数证明后，许多数学家都致力于对超越数的研究。1873年，法国数学家埃尔米特（Charles Hermite，1822—1901）又证明了自然对数底e的超越性，从而使人们对超越数的认识更为清楚。1882年，德国数学家林德曼证明了圆周率也是一个超越数。
超越数的证明，给数学带来了大的变革，解决了几千年来数学上的难题——几何三大问题，即倍立方问题、三等分角问题和化方为圆问题。
公元前550年，希腊数学家毕达哥拉斯发现毕氏定理（即我国发现的勾股定理），他当时非常高兴，曾杀猪宰牛，广宴宾客，以示庆贺。在应用勾股定理求直角三角形的某一边时，就要把一个数开平方，这时可能开得尽，也可能开不尽，若开不尽便出现了无理数。
无理数分为根数和超越数两种，其中π和e是两个重要的超越数。如果一个数是某个有理系数的多项式的根，这个数叫做代数数，否则就叫做超越数。
首先说π。
π，在国外又叫鲁道夫数，在我国却叫祖率、环率、圆率等。
最先得出π～3.14的是希腊的阿基米德（约公元前240年），最先给出π小数后面四位准确值的是希腊人托勒密（约公元前150年），最早算出π小数后七位准确值的是我国的祖冲之（约480年），1610年荷兰籍德数学家鲁道夫应用内接和外切正多边形计算π值，通过262边形计算π到35位小数，花费了毕生精力，1630年格林贝格利用斯涅耳的改进方法计算π值到39位小数，这是利用古典方法计算π值的最重要尝试。
以上都是古典方法计算π值。
计算出π的准确的200位数字。
值得提出的是，达什1824年生于汉堡，只活了短短的37年，便离开了人世，他是一个闪电般的计算者，是一位最了不起的人工计算者，他曾在54秒钟内便完成了两个8位数的乘法，在6分种内完成了两个20位数的乘法，在40分钟内完成了两个40位数的乘法；他曾在52分钟内算出一个100位数的平方根。达什的这种非凡的计算才能在他制作7位对数表和从7000000到10000000之间的数的因子表便得到了最有价值的充分的运用。
1873年，英国人威廉·桑克斯利用麦新的公式计算π到70位。
1961年，美国的雷思奇和D·桑克斯用电子计算机得出π值的100000位数字。
1706年，英国的威廉·姆士首先使用π这个符号，用来表示圆周和直径的比值，但只是在欧拉于1737年采用了这方法以后，π才在这种情况下得到了普遍的应用。
π在科学中的应用是极为广泛的，但有时它的出现也会是意想不到的。例如，1777年，法国数学家毕封做过一个“小针实验”：先在桌上铺一张带有平行横线的纸，相邻横线距离为2cm，再准备很多长为1cm的小针，然后将针随便地掷在纸上，掷完后，再将投掷次数除以针与平行线交叉的次数，却惊奇地发现：其所得值竟接近π！π，竟在一个与圆“无关”的问题中奇迹般地出现了。
我们再来说e。
在中学数学书中这样提出：以e为底的对数叫做自然对数。那么e到底有什么实际意义呢？
1727年，欧拉最先用e作为数学符号使用，后来经过一个时期人们又确定用e作为自然对数的底来纪念他。有趣的是，e正好是欧拉名字第一个小写字母，是有意的还是偶然巧合？现已无法考证！
e在自然科学中的应用并不亚于π值。像原子物理和地质学中考察放射性物质的衰变规律或考察地球年龄时便要用到e。
在用齐奥尔科夫斯基公式计算火箭速度时也会用到e，在计算储蓄最优利息及生物繁殖问题时，也要用到e。
像电容器的充放电过程，也是按以e为底的指数规律变化的，以电容器放电为例，电容器的电压变化是随时间t作指数衰减的，即
同π一样，e也会在意想不到的地方出现，例如：“将一个数分成若干等份，要使各等份乘积最大，怎么分？”要解决这个问题便要同e打交道。答案是：使等分的各份尽可能接近e值。如，把10分成10÷e=3.7份，但3.7份不好分，所以分成4份，每份为10÷4=2.5，这时2.54=39乘积最大，如分成3或5份，乘积都小于39。e就是这样神奇的。
1792年，15岁的高斯发现了素数定理：“从1到任何自然数N之间所含素数的百分比，近似等于N的自然对数的倒数；N越大，这个规律越准确。”这个定理到1896年才由法国数学家阿达玛和几乎是同一时期的比利时数学家布散所证明。以e为底还有很多优越性。如以e为底编制对数表最好；微积分公式也具有最简的形式。
有趣的是，π和e虽不能用有限的式子表示出来，但却可用无穷级数表示：
要补充说明的是：1882年德国数学家林德曼首先证明了π是超越数，从而完全否定了“化圆为方”作图的可能性。1844年，法国数学家刘维尔最先推测e是超越数，一直到了1873年才由法国数学家爱米特证明e是超越数。这样人们逐步认识了有理数、无理数、代数数、超越数，建立了一个完整的实数系统。它的意义是十分巨大的
超越数与代数数有着明显的不同，甚至连运算法则也有区别。比如说，对于代数数成立的加法和乘法消去律，对于超越数来说就不成立。举个例子，如果对三个超越数a，b，c有下式成立：
a＋b＝a＋c
但
b＝c却不一定成立。类似地，对于这三个数，如果下式成立：
a×b＝a×c
但
b＝c
也不一定成立。
----
这恐怕有错,实数的运算法则怎么就不适合其子集(超越数)了呢?

收起

公元一八五一年，法国数学家柳维尔（公元1809-1882年）最早证明了超越数的存在。
什么叫超越数呢？如果一个实数满足形如anxn+an-1xn-1an-2xn-2+……a2x2+a1x1+a0=0整数系的代数方程（这里n是自然数，an ,an-1…….a2,a1,a0都是整数，an≠0）,那么，这个实数就叫做代数数。实数中除代数数外，其余都是超越数。
例如， 2/3是代数数，因为...

全部展开

公元一八五一年，法国数学家柳维尔（公元1809-1882年）最早证明了超越数的存在。
什么叫超越数呢？如果一个实数满足形如anxn+an-1xn-1an-2xn-2+……a2x2+a1x1+a0=0整数系的代数方程（这里n是自然数，an ,an-1…….a2,a1,a0都是整数，an≠0）,那么，这个实数就叫做代数数。实数中除代数数外，其余都是超越数。
例如， 2/3是代数数，因为它满足方程3x-2=0。 是代数数，因为它满足方程x3-2=0。超越数是存在的。柳维尔写出下面这样一个小数： α=0.1100010000000000000010000……，并且证明了这个数不可能满足所讲的整系数方程anxn+an-1xn-1an-2xn-+……a2x2+a1x1+a0=0，明了它不是一个代数数，而是一个超越数。人们为了纪念他，把数称为柳维尔数。
一八七三年，法国数学家埃尔密脱（1882-1901年）证明，自然对数底e的超越性。一八八二年，德国数学家林德曼(1852-1939年)证明了圆周率 π是一个超越数。这样，我们所学过的实数，可以按下面的方式分类：

收起

刘维尔？超越数不是又叫刘维尔数么.刘维尔写出了下面这样一个无限小数：a=0.110001000000000000000001000…，并且证明取这个a不可能满足任何整系数代数方程，由此证明了它不是一个代数数，而是一个超越数。