作业帮已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线,AB为切点.那么向量PA点乘向量PB的最小值为?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 19:06:16
已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线,AB为切点.那么向量PA点乘向量PB的最小值为?
已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线,AB为切点.那么向量PA点乘向量PB的最小值为?
已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线,AB为切点.那么向量PA点乘向量PB的最小值为?
这是2010年高考题全国卷里的一道选择题.
【解法一】
设PA=PB=X（x＞0）,∠APO=α,
则∠APB=2α,由勾股定理得PO=根号（1+x^2）,
sinα=1/根号（1+x^2）,
向量PA•向量PB=|PA|•|PB|cos2α=x^2（1-2sin^2α）={x^2（x^2-1）}/(1+x^2)
=（x^4-x^2）/（1+x^2）,
令向量PA•向量PB=y,
则y==（x^4-x^2）/（1+x^2）,
即x^4-（1+y）x^2-y=0,
由于x^2是实数∴△={-（1+y）}^2-4×1×（-y）≥0,
y^2+6y+1≥0
解得y≤-2√2-3或y≥-3+2√2
x^2＞0,设x^2=t,
方程x^4-（1+y）x^2-y=0可以化为t^2-（1+y）t-y=0,
根据韦达定理得：t1+t2=1+y,t1t2=-y,
当y≤-2√2-3时,t1+t20,
这时t1,t2都是负值,因为x^2=t>0,所以不合题意,舍去.
当y≥-3+2√2时,t1+t2>0,t1t2>0,
这时t1,t2都是正值,符合题意.
故（向量PA•向量PB）min=-3+2√2
【解法二】
以圆心为坐标原点建立直角坐标系：
可以先把图作出,那么PA向量*PB向量=PA*PB*cosθ
连接OP（O即是原点,也是圆的圆心）
那么sin（θ/2）=1/PO
∴cosθ=1-2（sin（θ/2））^2=1-2/PO^2
∴PA向量*PB向量=2-PA*PB
又∵PA*PB=PO^2-OA^2=PO^2-1
∴PA向量*PB向量=（PO^2-1）*（1-2/PO^2）=PO^2+2/PO^2-3
用基本不等式：当PO=二的四分之一次方时,（PA向量*PB向量）min=-3+2根号2