x2+xy+y2=1,且x,y∈R,则x+y的取值范围

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/07 08:22:28

x2+xy+y2=1,且x,y∈R,则x+y的取值范围
x2+xy+y2=1,且x,y∈R,则x+y的取值范围

x2+xy+y2=1,且x,y∈R,则x+y的取值范围
由x²+xy+y²=1
得(x+½y)²+3/4y²=1
令x+½y=sina,则根3/2y=cosa
那么有x=sina-根3/3cosa,y=2根3/3cosa
则x+y=sina+根3/3cosa
再由y=asinA+bcosA=根号下(a²+b²)sin(A+arctan(b/a)) ,最大值根号下(a²+b²),最小值-根号下(a²+b²)
此题中a=1,b=根3/3,显然Ymin=-2根3/3,Ymax=2根3/3

提示:令x=Rsina
y=Rcosa
则由条件有RR=1/(1+(sin2a)/2)
答案:2/3与2之间
因为x2+xy+y2=1
所以xy=1-x2-y2
x2+y2>=2xy=2(1-x2-y2)
所以x2+y2>=2(1-x2-y2)
即x2+y2>=2/3