在三角形ABC中,BD垂直于AC,D为垂足,E是AB的中点,EF//BC,交AC于F,角A=2角C,求证:DF=1／2AB.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 06:44:29

在三角形ABC中,BD垂直于AC,D为垂足,E是AB的中点,EF//BC,交AC于F,角A=2角C,求证:DF=1／2AB.
在三角形ABC中,BD垂直于AC,D为垂足,E是AB的中点,EF//BC,交AC于F,角A=2角C,求证:DF=1／2AB.

在三角形ABC中,BD垂直于AC,D为垂足,E是AB的中点,EF//BC,交AC于F,角A=2角C,求证:DF=1／2AB.
证明：
连结DE
∵EF平行于BC（已知）
∴∠AFE=∠C（两直线平行,同位角相等）
∵∠A=2∠C（已知）
∴∠A=2∠AFE（等量代换）
∵BD⊥AC（已知）
∴△ABD为直角三角形
∵E是AB的中点（已知）
∴DE是△ABD的中线（中线定义）
∴AB=2DE（直角三角形斜边的中线是斜边的一半）
∴△ADE为等腰三角形
∴∠A=∠ADE
∵∠ADE=∠DEF+∠DFE（三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角之和）
∴∠A=∠DEF+∠DFE
∴2∠DFE=∠DEF+∠DFE
即∠DFE=∠DEF
∴DE=DF（等角对等边）
所以DF=1/2AB

连接DE，则DE是Rt△ABD斜边上的中线，
可得：DE = AE = (1/2)AB ，∠EDA = ∠A 。
已知，EF‖BC，可得：∠DFE = ∠C 。
因为，∠DEF = ∠EDA-∠DFE = ∠A-∠C = ∠C = ∠DFE ，
所以，DF = DE = (1/2)AB 。

证明：
连接DE
因为EF‖BC
所以∠AFE＝∠C
因为∠A＝2∠C
所以∠A＝2∠AFE
因为BD⊥AC，E是AB的中点
所以DE是直角三角形ABD斜边上的中线
所以AE＝DE＝AB/2
所以∠A＝∠ADE
因为∠ADE＝∠AFE＋∠DEF
所以2∠AFE＝∠AFE＋∠DEF
所以∠AFE＝∠DEF...

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证明：
连接DE
因为EF‖BC
所以∠AFE＝∠C
因为∠A＝2∠C
所以∠A＝2∠AFE
因为BD⊥AC，E是AB的中点
所以DE是直角三角形ABD斜边上的中线
所以AE＝DE＝AB/2
所以∠A＝∠ADE
因为∠ADE＝∠AFE＋∠DEF
所以2∠AFE＝∠AFE＋∠DEF
所以∠AFE＝∠DEF
所以DE＝DF
所以DF＝AB/2
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