已知非零向量a⊥b,证明:(|a|+|b|)/|a-b|≤√2

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/30 22:45:47

已知非零向量a⊥b,证明:(|a|+|b|)/|a-b|≤√2
已知非零向量a⊥b,证明:(|a|+|b|)/|a-b|≤√2

已知非零向量a⊥b,证明:(|a|+|b|)/|a-b|≤√2
a⊥b,则a*b=0
(|a|+|b|)²-2|a-b|²
=(|a|²+2|a|×|b|+|b|²)-2(|a|²-2a*b+|b|²)
=-|a|²-|b|²+2|a|×|b|
=-(|a|-|b|)²

证明
∵ a⊥b
∴ a.b=0
2|a-b|²
=2(a²+b²-2a.b)
=2(a²+b²)
= (a²+b²)+(a²+b²)
≥(|a|²+|b|²)+2|a|*|b|
=(|a|+|b|)²
即 2|a-b|²≥(|a|+|b|)²
∴ (|a|+|b|)²/|a-b|²≤2
∴ (|a|+|b|)/|a-b|≤√2