当x>0时,求证ln[(1+x)/x]

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 11:47:43

当x>0时,求证ln[(1+x)/x]
当x>0时,求证ln[(1+x)/x]

当x>0时,求证ln[(1+x)/x]
构造函数f(x)=ln(1+x)-x,x>0
求导得f'(x)=1/(1+x)-1
当x>0时,f'(x)

方法一、利用函数单调性证明
不防记f(t)=ln(1+t)-t,t>=0
f'(t)=1/(1+t)-1=-t/(1+t)<0,t>0
得到f(t)在(0,+∞)单调递减,又f(t)可在t=0处连续,则
f(t)0即
ln(1+t)0
我们取1/x(>0)替换t有
ln[(1+x)/x]<1/x,x>0命题得证。...

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方法一、利用函数单调性证明
不防记f(t)=ln(1+t)-t,t>=0
f'(t)=1/(1+t)-1=-t/(1+t)<0,t>0
得到f(t)在(0,+∞)单调递减,又f(t)可在t=0处连续,则
f(t)0即
ln(1+t)0
我们取1/x(>0)替换t有
ln[(1+x)/x]<1/x,x>0命题得证。
方法二、中值定理证明
记f(x)=lnx,x>0,显f(x)在[x,x+1]上满足拉格朗日中值定理条件
则存在ξ∈(x,x+1)使得
ln[(x+1)/x]=ln(x+1)-lnx=f(x+1)-f(x)=f'(ξ)[(x+1)-x]=1/ξ
又1/(x+1)<1/ξ<1/x,其中ξ∈(x,x+1)
则有1/(x+1)显然ln[(x+1)/x]<1/x,x>0命题成立。

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