求证当x>0时,x>ln(1+x)

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 04:36:41

求证当x>0时,x>ln(1+x)
求证当x>0时,x>ln(1+x)

求证当x>0时,x>ln(1+x)
设f(x)=e^x-(1+x)
f(x)′=e^x-1
∵x＞0
∴f(x)′＞0
∴f(x)在(0,∽)上单调递增
∴f(x)＞f(0)=1-(1+0)=0
∴e^x-(1+x)＞0
∴e^x＞(1+x)
∴ln(e^x)＞ln(1+x)
∴x＞lnI1+x)

设f(x)=x-ln(1+x)
则求一阶导数f'(x)=1-1/(1+x)
x>0时0<1/(1+x)<1,所以x>0时，f'(x)=1-1/(1+x)恒>0
即f(x)在(0,正无穷)上单调递增
故f(x)>lim f(x),x趋向于0=0
所以当x>0时，x>ln(1+x)

设f(x)=x-ln(1+x)
则求一阶导数f'(x)=1-1/(1+x)
x>0时0<1/(1+x)<1,所以x>0时，f'(x)=1-1/(1+x)>0恒成立。
所以当x>0时， f(x)是增函数。
又f(0)=0-0=0，
所以，当x>0时，f(x）>f(0)=0,
即当x>0时，x>ln(1+x)。

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