证明若a^2=3,则a不是有理数

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 06:35:30

证明若a^2=3,则a不是有理数
证明若a^2=3,则a不是有理数

证明若a^2=3,则a不是有理数
假设a是有理数
显然a不是整数
所以是个分数
则令a=p/q
其中pq都是整数且互质
则p²/q²=3
p²=3q²
所以p²是3的倍数
则p是3的倍数
假设p=3m
则9m²=3q²
q²=3m²
所以q也是3的倍数
这和pnq互质矛盾
所以假设错误
所以a不是有理数

若a为有理数，则a可以表示为p/q的形式，p,q为自然数且p、q互质
那么有(p*p)/(q*q)=3，或p*p=3*q*q
显然，p必须是3的倍数，令p=3r，则有：9r*r=3*q*q，3*r*r=q*q
从而，q也必须是3的倍数，这就与假设的p、q互质相矛盾
因此a不可能是有理数

a=±根3
证明
假设根3是有理数
那么根据任何有理数可以化成最简分数，可设根3=n/m（因为n/m是最简形式，所以n与m互质）
即平方 3=n^2/m^2 即3m^2=n^2因为m n整数，m^2=n^2/3
n^2/3整数 n是3的倍数设n=3t
代入m^2=3t^2 这样m也必然是3的倍数
nm都是3的倍数，这与m...

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a=±根3
证明
假设根3是有理数
那么根据任何有理数可以化成最简分数，可设根3=n/m（因为n/m是最简形式，所以n与m互质）
即平方 3=n^2/m^2 即3m^2=n^2因为m n整数，m^2=n^2/3
n^2/3整数 n是3的倍数设n=3t
代入m^2=3t^2 这样m也必然是3的倍数
nm都是3的倍数，这与mn互质矛盾
所以根3不是有理数

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