高数高手解答:设f(x,y)=(x^2)*y*(4-x-y),求在由x+y=4和x=0,y=0围成的闭区域内的最大值和最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/11 19:43:49

高数高手解答:设f(x,y)=(x^2)*y*(4-x-y),求在由x+y=4和x=0,y=0围成的闭区域内的最大值和最小值
高数高手解答:设f(x,y)=(x^2)*y*(4-x-y),求在由x+y=4和x=0,y=0围成的闭区域内的最大值和最小值

高数高手解答:设f(x,y)=(x^2)*y*(4-x-y),求在由x+y=4和x=0,y=0围成的闭区域内的最大值和最小值
f(x,y)=(4x^2-x^3-x^2y)*y
f'x=(8x-3x^2-2yx)*y
f'y=(4x^2-x^3)-2x^2y
f'x=0
8x-3x^2-2yx=0 2y=8-3x
f'y=0
4x^2-x^3-2x^2y=0 4-x-2y=0
x=2,y=1时,f'x=0,f'y=0,f(xy)=4
x+y=4交x=0于A(0,4) 交y=0于B(4,0)该闭区域内,
x+y≤4, 4-x-y≥0
x≠2,y≠1时
f'x=(8x-3x^2-2yx)*y=[-3(x-4-y)^2+64+y^2]y>0
f'y=(4x^2-x^3)-2x^2y=x^2(4-x-y)>0
x=2,y=1时,f(x,y)最大值=4
x=0,y=0时,f(x,y)最小值=0

分别对X ,Y求偏导:得到:8XY-3X^2Y-2XY^2=0
4x^2-X^3-2X^2Y=0 当X=Y=0时取到最小值0
约掉X,Y,得到2Y=4-X=8-3X
解得X=2 Y=1
此时最大值4

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