已知a〉0,b〉0,且a+b=1,求证:(a²+b²)/(ab+1) ≥2/5

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 15:29:34

已知a〉0,b〉0,且a+b=1,求证:(a²+b²)/(ab+1) ≥2/5
已知a〉0,b〉0,且a+b=1,求证:(a²+b²)/(ab+1) ≥2/5

已知a〉0,b〉0,且a+b=1,求证:(a²+b²)/(ab+1) ≥2/5

a+b=1
两边同时平方得:
a²+b²+2ab=1
所以a²+b²=1-2ab
故(a²+b²)/(ab+1)
=(1-2ab)/(ab+1)
=(3-2ab-2)/(ab+1)
=3/(ab+1)-2
因为ab≤[(a+b)/2]²=1/4
所以3/(ab+1)-2≥3/(1/4+1)-2=12/5-2=2/5
即(a²+b²)/(ab+1)≥2/5

证毕.