作业帮在三角形ABC中,AB垂直BC,SA垂直平面ABC,DE垂直平分SC,分别交AC,SC于D,E又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 14:49:02
在三角形ABC中,AB垂直BC,SA垂直平面ABC,DE垂直平分SC,分别交AC,SC于D,E又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C
在三角形ABC中,AB垂直BC,SA垂直平面ABC,DE垂直平分SC,分别交AC,SC于D,E又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C
在三角形ABC中,AB垂直BC,SA垂直平面ABC,DE垂直平分SC,分别交AC,SC于D,E又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C
联结BD、BE,过E分别作EH⊥平面ABC,EF⊥BD于H、F
由于BD是平面BDE和平面BCD的交线
所以要求的二面角E-BD-C即为∠EFH
又由EH⊥平面ABC得EH⊥FH
所以只需求出EH、EF,二面角即可用三角比算出
设AB=a (a>0),先求EH：
由于EH⊥平面ABC,SA⊥平面ABC,即SA∥EH
由于一组平行线确定一个平面,则有S、A、E、H四点共面
又S、A、E已在平面ACS上了,所以H也在平面ACS上
且H是所作垂线在平面ABC上的垂足
所以H只能在平面ABC与平面ACS的交线上,即H在AC上
那既然已证EH∥SA,E又是SC中点
所以EH是△SAC中位线,有EH=SA/2=AB/2=a/2
再求EF,考虑EF在△BDE中,不妨求△BDE三边,用余弦定理求高
那联结BE、BD先看BE：
由SA=AB=a,得BC=SB=√(SA^2+AB^2)=√(a^2+a^2)=√2a
因为SB在平面ABC上的投影为AB,又AB⊥BC
根据三垂线定理,SB⊥BC,则SC=√(SB^2+BC^2)=√((√2a)^2+(√2a)^2)=2a
因为BE是Rt△BCS斜边上的中线,所以BE=CS/2=2a/2=a
再看DE：
联结SD,由于DE是CS的中垂线,所以SD=DC
AC=√(AB^2+BC^2)=√(a^2+(√2a)^2)=√3a,则AD=AC-CD=√3-SD
由于SA⊥平面ABC,有SA⊥AD,即SA^2+AD^2=SD^2
所以a^2+(√3-SD)^2=SD^2,解得SD=2√3a/3
已求SC=2a,则SE=SC/2=2a/2=a
所以DE=√(SD^2-SE^2)=√((2√3a/3)^2-a^2)=√3a/3
最后求BD：
上面求出CD=SD=2√3a/3,则AD=AC-CD=3√a-2√3a/3=√3a/3
在Rt△ABC中,cos∠DAB=AB/AC=a/(√3a)=√3/3
在△ABD中用余弦定理,
BD=√(AB^2+AD^2-2AB*AD*cos∠DBA)
=√(a^2+(√3a/3)^2-2a*√3a/3*√3/3)
=√6a/3
现在看△BDE,BE=a,DE=√3a/3,BD=√6a/3
发现BD^2+DE^2=BE^2,即∠BDE=90°
即D、F重合(图上不重合是为了看地清楚些)
则二面角E-BD-C=∠EFH=∠EDH
由于EH⊥⊥平面ABC,有EH⊥DH
则sin∠EDH=EH/DE=(a/2)/(√3a/3)=√3/2
所以二面角E-BD-C即∠EDH=60°