作业帮三角形内切圆 证明题如图所示DE是三角形ABC内切圆的直径,且DE垂直于三角形底边BC,AE延长线与底边BC相交于F点,求证BD=FC.求告诉指点
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 22:45:16
三角形内切圆 证明题如图所示DE是三角形ABC内切圆的直径,且DE垂直于三角形底边BC,AE延长线与底边BC相交于F点,求证BD=FC.求告诉指点
三角形内切圆 证明题
如图所示DE是三角形ABC内切圆的直径,且DE垂直于三角形底边BC,AE延长线与底边BC相交于F点,求证BD=FC.求告诉指点
三角形内切圆 证明题如图所示DE是三角形ABC内切圆的直径,且DE垂直于三角形底边BC,AE延长线与底边BC相交于F点,求证BD=FC.求告诉指点
这道题的证明比较麻烦,我添加了一个辅助圆,详见图片.证明过程如下：
证明：
过E点作MN切⊙O于E,交AB于M,交AC于N,记AB与⊙O的切点为P,AC与⊙O的切点为Q
∴MN∥BC
延长AB至B',延长AC至C',使MN/BC=BC/B'C',作梯形BCC'B'的内切圆⊙O'
AB'切⊙O'的切点记为S,AC'切⊙O'的切点记为T
∵△AMN上的E点在△ABC上的对应点为F
∴BC切⊙O'于F
同理,AB'切⊙O'于S,AC'切⊙O'于T
则PS=QT (两圆的公切线长度相等)
即PB+BS=QC+CT
又PB=BD,BS=BF,QC=CD,CT=CF (圆外一点到圆的两条切线等长)
∴BD+BF=CD+CF
即BD+BD+DF=CF+DF+CF
∴2BD=2CF
∴BD=CF
用重心坐标计算
重心坐标就是考虑你在三角形3个顶点放置不同质量的小球，然后用3个小球的质心表示其他点。
例如重心就是(1,1,1)当然，为了使得总质量为1，你也可以写成(1/3,1/3,1/3)
例如BC中点，是(0,1,1)，也可以写成(0,0.5,0.5)
AB=c
BC=a
AC=b
A(1,0,0)
B(0,1,0)
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用重心坐标计算
重心坐标就是考虑你在三角形3个顶点放置不同质量的小球，然后用3个小球的质心表示其他点。
例如重心就是(1,1,1)当然，为了使得总质量为1，你也可以写成(1/3,1/3,1/3)
例如BC中点，是(0,1,1)，也可以写成(0,0.5,0.5)
AB=c
BC=a
AC=b
A(1,0,0)
B(0,1,0)
C(0,0,1)
D(0,CD,BD)=D(0,a+b-c,a+c-b)=D(0,0.5(1+b/a-c/a),0.5(1+c/a-b/a))
内心I(a,b,c)=I(a/(a+b+c),b/(a+b+c),c/(a+b+c),)
ED中点是I
设E(x,y,z)
所以I=(1/2)D+(1/2)E
也就是2I＝D+E
2a/(a+b+c)=0+x
2b/(a+b+c)=0.5(1+b/a-c/a)+y
2c/(a+b+c)=0.5(1+c/a-b/a)+z
4ab/(a+b+c)=(a+b-c)+y
0=(aa+bb-2ab-cc)/(a+b+c)+y
y=(a-b+c)(b+c-a)/(a+b+c)
同理
z=(a-c+b)(b+c-a)/(a+b+c)
由于AEF共线，所以
(a-b+c):(a-c+b)
=y:z
=E的第2坐标：E的第3坐标
＝F的第2坐标：F的第3坐标
＝CF/BF
所以CF/BF=BD/CD
所以BD=CF
收起