作业帮一道高中导数题f(x)=(-a^2)(x^2)+ax+lnx(a属于R)若函数f(x)在区间（1,正无穷）上是减函数,求实数a的取值范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 02:02:55
一道高中导数题f(x)=(-a^2)(x^2)+ax+lnx(a属于R)若函数f(x)在区间（1,正无穷）上是减函数,求实数a的取值范围.
一道高中导数题
f(x)=(-a^2)(x^2)+ax+lnx(a属于R)
若函数f(x)在区间（1,正无穷）上是减函数,求实数a的取值范围.
一道高中导数题f(x)=(-a^2)(x^2)+ax+lnx(a属于R)若函数f(x)在区间（1,正无穷）上是减函数,求实数a的取值范围.
因为f‘(x)=(-a^2)*2x+a+1/x=(-2a^2*x^2+ax+1)/x=0
由于定义域为x>0,
所以-2a^2*x^2+ax+1=0
即(ax-1)(2ax+1)=0
若a=0,则f'(x)>0,所以在区间(1,正无穷大)上是增函数,所以不符合
因此a不等于0
因此f'(x)=0有两个解x=1/a或x=-1/(2a).
当a>0时,f'(x)在(0,1/a)上f'(x)>0,在(1/a,正无穷大)上f'(x)
f(x)=(-a^2)(x^2)+ax+lnx求导之后有-2a^2(x)+a+1/x<0在（1，正无穷）恒成立，分别作出y=a+1/x和y=2a^2(x)的图像，由图像知a>=1或a<=-1/2
f(x)=(-a^2)(x^2)+ax+lnx
f'(x)=-2a^2x+a+1/x=0
2a^2x^2-ax-1=0
(2ax+1)(ax-1)=0
ax=-1/2,ax=1
f'(x)=-2a^2x+a+1/x<0
-1/2
-1/2a
a∈（1，+∞）
若a<0则
1/a
因此a∈（1，+∞）
∵f′(x)=-2a2x-ax-1/x=-(2ax+1)(ax-1)/x
①当a=0时，不成立．
②当a＞0时，f'（x）＜0，得x＞1/a，∴1/a≤1，a≥1．
③当a＜0时，f'（x）＜0，得x＞-1/2a，∴-1/2a≤1，a≤-1/2
所以a∈(-∞，-1/2]∪[1，+∞)
∵f′(x)=-2a2x-ax-1/x=-(2ax+1)(ax-1)/x
①当a=0时，不成立．
②当a＞0时，f'（x）＜0，得x＞1/a，∴1/a≤1，a≥1．
③当a＜0时，f'（x）＜0，得x＞-1/2a，∴-1/2a≤1，a≤-1/2
a∈(-∞，-1/2]∪[1，+∞)