作业帮设a为实数,函数ex（e的x次方）—2x+2a,a为实数,求证：当a>(In2)—1且x>0时,ex（e的x次方）>x2（x的平方）—2ax+1
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 16:48:46
设a为实数,函数ex（e的x次方）—2x+2a,a为实数,求证：当a>(In2)—1且x>0时,ex（e的x次方）>x2（x的平方）—2ax+1
设a为实数,函数ex（e的x次方）—2x+2a,a为实数,求证：当a>(In2)—1且x>0时,
ex（e的x次方）>x2（x的平方）—2ax+1
设a为实数,函数ex（e的x次方）—2x+2a,a为实数,求证：当a>(In2)—1且x>0时,ex（e的x次方）>x2（x的平方）—2ax+1
f的导函数f'=ex-2
当 ex-2=0时 即x=ln2是 导函数f'=0
当 ex-20 原函数f为增函数
极小值为f（ln2）=2-2ln2+2a
令 g（x）=e^x-（x^2-2ax+1）
函数g的导函数g'=ex-（2x-2a） 为函数f
当a>ln2-1时 原函数极小值f（ln2）=2-2ln2+2a>2-2ln2+2(ln2-1)=0
即导函数g'>0
函数g在R上为增函数
g（0）=1-（0-0+1）=0
对于任意的x>0
g（x）>g(0)=0恒成立
∴ ex-（x2-2ax+1）>0 即ex>x2-2ax+1
得证
（1）∵f（x）=ex-2x+2a，x∈R，
∴f′（x）=ex-2，x∈R．
令f′（x）=0，得x=ln2．
于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x （-∞，ln2） ln2 （ln2，+∞）
f′（x） - ...
全部展开
（1）∵f（x）=ex-2x+2a，x∈R，
∴f′（x）=ex-2，x∈R．
令f′（x）=0，得x=ln2．
于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x （-∞，ln2） ln2 （ln2，+∞）
f′（x） - 0 +
f（x） 单调递减 2（1-ln2+a） 单调递增
故f（x）的单调递减区间是（-∞，ln2），
单调递增区间是（ln2，+∞），
f（x）在x=ln2处取得极小值，
极小值为f（ln2）=eln2-2ln2+2a=2（1-ln2+a）．
（2）证明：设g（x）=ex-x2+2ax-1，x∈R，
于是g′（x）=ex-2x+2a，x∈R．
由（1）知当a＞ln2-1时，
g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1-ln2+a）＞0．
于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．
于是当a＞ln2-1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）．
而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．
即ex-x2+2ax-1＞0，
故ex＞x2-2ax+1．
收起