怎么证明三角形的三高相交与同一点

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 08:40:22

怎么证明三角形的三高相交与同一点
怎么证明三角形的三高相交与同一点

怎么证明三角形的三高相交与同一点
已知:△ABC中,AD、BE、CF分别是高求证:AD、BE、CF相交于一点证明:过A、B、C分别作对边的平行线,两两相交于M、N、K 易知四边形ABCN、KBCA、ABMC都是平行四边形,∴BC=AN、BC=KA,则KA=AN,即AD是KN的垂直平分线,同理可得BE、CF分别是MK、MN的垂直平分线,∵△MNK中,三边的垂直平分线AD、BE、CF相交于一点,∴ABC中AD、BE、CF相交于一点,证毕.又证:设BE、CF相交于O,作AO交BC于D ∵OE⊥AE、OF⊥AF,∴A、E、O、F四点共圆,同理,B、C、E、F四点共圆,∴∠FAO=∠FEO,∠FEO=∠OCD,∴∠FAO=∠OCD,∵∠FAO+∠FOA=Rt∠、∠FOA=∠DOC,∴∠OCD+∠DOC=Rt∠,∴AD⊥BC,即AD、BE、CF相交于一点,证毕.

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