如何证明三角形的高相交同一点

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 14:37:51

如何证明三角形的高相交同一点
如何证明三角形的高相交同一点

如何证明三角形的高相交同一点
设ΔABC,三条高线为AD、BE、CF,AD与BE交于H,连接CF.向量HA=向量a,向量HB=向量b,向量HC=向量c.
因为AD⊥BC,BE⊥AC,
所以向量HA·向量BC=0,向量HB·向量CA=0,
即向量a·(向量c-向量b)=0,
向量b·(向量a-向量c)=0,
亦即
向量a·向量c-向量a·向量b=0
向量b·向量a-向量b·向量c=0
两式相加得
向量c·(向量a-向量b)=0
即向量HC·向量BA=0
故CH⊥AB,C、F、H共线,AD、BE、CF交于同一点H.证毕.

取三角形，做2条高交于一点，
然后证明第三条高也过该交点

这个图是我用绘图画的   几何画板机房里没有 凑合看  

要证 三线交于一点 只需证明 过交点及顶点的直线为高即可 

如上图所示 AD. CE 分别为 △ABC BC AB 边上的高

交与F点   只需证明 BF⊥AC 即可   

∵AD⊥BC     CE⊥AB

∴∠BAD=∠BCE 

∵∠ADB=∠ADC

∴△ABD∽△CFD  BD:DF=AD:DC

∴△BDF∽△ADC

∴ ∠GBD=∠DAC ∠ACB=∠ACB

∴△BGC∽△ADC

∴∠BGC=90°  即 BG⊥AC

 

还有一种情况是钝角三角形的三条高 证明和上面大同小异

你可以自己思考下  实在证不出来 可以追问我 

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