正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是上底面ABCD中心,若正方体的棱长为a,则三棱锥O-AB1D1的体积为（）

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 01:18:09

正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是上底面ABCD中心,若正方体的棱长为a,则三棱锥O-AB1D1的体积为（）
正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是上底面ABCD中心,若正方体的棱长为a,则三棱锥O-AB1D1的体积为（）

正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是上底面ABCD中心,若正方体的棱长为a,则三棱锥O-AB1D1的体积为（）
连接AC,BD,则AC与BD的交点就是点O
因为正方体ABCD-A1B1C1D1中 ABCD是正方形
所以 A0垂直平分BD
因为正方体ABCD-A1B1C1D1中 DD1垂直面ABCD
因为 AO在面ABCD内
所以 AO垂直DD1
因为 AO垂直BD
所以 AO垂直面BB1D1D
因为 O在BD上
所以 AO垂直面B1D1O
过O作OO1垂直B1D1于O1
因为正方体的棱长为a
所以 B1D1=√2a
因为正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是上底面ABCD中心
所以 O1是下底面A1B1C1D1的中心
所以 OO1=BB1=a
因为 B1D1=√2a
所以三角形B1D1O的面积=√2a^2/2
因为 O是上底面ABCD中心
所以 AO=√2a/2
因为 AO垂直面B1D1O
所以三棱锥O-AB1D1的体积=1/3AO*三角形B1D1O的面积
因为 AO=√2a/2,三角形B1D1O的面积=√2a^2/2
所以三棱锥O-AB1D1的体积=a^3/6

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答案:六分之a立方
设A1C1交B1D1于O1，连结OO1、AO1，过O作OE垂直AO于E
因为B1D1垂直C1D1
B1D1垂直AA1
所以B1D1垂直面AA1O
面AB1D1垂直面AA1O
AO1为上述两面交线
因为OE垂直AO1
所以OE垂直面AB1D1
因为OE*AO1=AO*OO1
且(AO1)^2=AO^2+OO1^2
得OE=(根号3)/3*a
三角形AB1D1面积
=1/2*B1AO1*AO1
=(根号3)/3*a^2
所以体积
=1/3*(根号3)/2*a^2*(根号3)/3*a
=1/6*a^3

收起

A*A/2

正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是上底面ABCD中心,若正方体的棱长为a,则三棱锥O-AB1D1的体积为（ ）

正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是上底面ABCD中心,若正方体的棱长为a,则三棱锥O-AB1D1的体积为（）