正三棱锥的侧面与底面所成的二面角的余弦值为根号3/3,则其相邻两侧面所成的二面角的余弦值是

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/30 20:59:53

正三棱锥的侧面与底面所成的二面角的余弦值为根号3/3,则其相邻两侧面所成的二面角的余弦值是
正三棱锥的侧面与底面所成的二面角的余弦值为根号3/3,则其相邻两侧面所成的二面角的余弦值是

正三棱锥的侧面与底面所成的二面角的余弦值为根号3/3,则其相邻两侧面所成的二面角的余弦值是
设正三棱锥S-ABC,底面边长=1个长度单位,作高SH,取BC边中点D,连结SD,AD,AD=√3/2,HD=AD/3=√3/6,〈HDS是侧面与底面所成二面角的平面角,
cos<SDH=OD/SD=√3/3,
SD=√3OD=1/2,
SB=√（SD^2+BD^2)=√2/2,
在三角形SAB上作SB边上的高AM,连结CM,
△SAB≌△SBC,
〈ABM=〈CBM,
AB=BC,
BM=BM
△ABM≌△CBM,
故AM=CM,
CM⊥SB,AM⊥SB,
〈AMC是二面角A-SB-C的平面角,
S△SBC=BC*SD/2=CM*SB/2,
CM=√2/2,
AM=CM=√2/2,
在三角形ACM中,
AM^2+CM^2=1/2+1/2=1,
AC^2=1,
根据勾股定理逆定理,
三角形ACM是直角三角形,
故〈AMC=90度,
其相邻两侧面所成的二面角的余弦值为0.
补充：实际上,由SD=1/2,BC=1,SD是BC边上的中线,SD=BD=CD,三角形SBC是直角三角形,又SB=SC,则又是等腰直角三角形,三个侧面都是等腰直角三角形,则三个侧面两两互相垂直,故侧面间夹角为90度,前面所述M点就是S点.