设A是n阶实对称矩阵且满足A^2=A,设A的秩为r,求行列式det(2E-A),其中E是n阶单位矩阵

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 06:35:35

设A是n阶实对称矩阵且满足A^2=A,设A的秩为r,求行列式det(2E-A),其中E是n阶单位矩阵
设A是n阶实对称矩阵且满足A^2=A,设A的秩为r,求行列式det(2E-A),其中E是n阶单位矩阵

设A是n阶实对称矩阵且满足A^2=A,设A的秩为r,求行列式det(2E-A),其中E是n阶单位矩阵
A^2=A
A^2-A-2E=-2E
(A-2E)(A+E)=-2E
(2E-A)(A+E)=2E
|2E-A||A+E|=2^n
现在求|A+E|的值
A是实对称阵,必可相似对角化,存在可逆阵P,使得P^(-1)AP=Λ
其中Λ是对角阵,设其对角线上的元素是a1,a2……an,由于r(A)=r
可知a1,a2……an中有r个元素不为0,n-r个元素为0,不妨设a1,a2……ar不为0
A^2=P^(-1)Λ^2P=P^-1ΛP 因为P可逆,所以Λ^2=Λ
即(a1)^2=a1,(a2)^2=a2……(an)^2=an
可解得a1=a2=……=ar=1,a(r+1)=a(r+2)=……=an=0
|A+E|=|P^-1ΛP+P^-1EP=|P^-1||Λ+E||P|=|Λ+E|
|Λ+E|为对角阵,其对角线上的元素有r个为2,n-r个为1,所以|A+E|=|Λ+E|=2^r
|2E-A|=2^(n-r)

你教材中单位矩阵是不是表示成 I (大写的i) 估计是给丢了 ||A|I| 设A是n阶实对称矩阵且满足A^2=A，求行列式det(2E-A)，其中E是n阶的

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